Chứng minh rằng: số \(n=8k+7\)với k là số tự nhiên, không biểu diễn được thành tổng của ba bình phương.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
19 tháng 8 2017
Chứng minh rằng không thể biểu diễn số 11 thành tổng các nghịch đảo của bình phương của kk số tự nhiên khác nhau từng đôi một (k∈N,k⩾2k∈N,k⩾2)
GIẢI :
Xét 2 trường hợp :
+ Nếu trong k số tự nhiên đó có số 1 thì dĩ nhiên tổng đó lớn hơn 11^2=1
+ Nếu trong k số tự nhiên đó không có số 1 :
[tex]\frac{1}{n^2}< \frac{1}{(n-1).n}[/tex] |
[tex]\Rightarrow \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{(n-1).n}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=1-\frac{1}{n}< 1[/tex] |
Vậy dù tổng ở vế trái có bao nhiêu số hạng thì nó vẫn nhỏ hơn 11.
Trong cả 2rường hợp, tổng các nghịch đảo của bình phương của k số tự nhiên khác nhau từng đôi một luôn luôn khác 1 (lớn hơn hoặc nhỏ hơn 1) ⇒⇒đpcm.
18 tháng 11 2017
Giả sử n = 8k + 7 là tổng của 3 bình phương
Vì 8k + 7 là số lẻ nên 8k + 7 chỉ có thể tách thành tổng các bình phương của 3 số lẻ hoặc 2 số chẵn 1 số lẻ
Mà số chính phương chia 8 chỉ có thể dư 0; 1 hoặc 4
Do đó, nếu 8k + 7 có thể tách thành tổng 3 số lẻ thì 8k + 7 chia 8 dư 1 + 1 + 1 = 3, vô lý vì 8k + 7 chia 8 dư 7
nếu 8k + 7 có thể tách thành tổng 2 số chẵn 1 số lẻ thì 8k + 7 chia 8 dư 0 + 0 + 1 = 1 hoặc 0 + 4 + 1 = 5 hoặc 4 + 4 + 1 = 9, vô lý vì 8k + 7 chia 8 dư 7
Như vậy, điều giả sử là sai
=> đpcm
AH
Akai Haruma
Giáo viên
11 tháng 9 2021
Bạn có thể tham khảo tại đây:
https://hoc24.vn/cau-hoi/1-so-tu-nhien-n-la-tong-binh-phuong-cua-3-so-tu-nhien-lien-tiep-chung-minh-rang-n-ko-the-co-17-uoc-so.56414140611
HD
1
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
26 tháng 11 2021
Gọi ba tự nhiên lẻ bất kì lần lượt là \(2m+1,2n+1,2p+1\).
Ta có: \(\left(2m+1\right)^2+\left(2n+1\right)^2+\left(2p+1\right)^2\)
\(=4m^2+4m+1+4n^2+4n+1+4p^2+4p+1\)
\(\equiv3\left(mod4\right)\)
mà số chính phương khi chia cho \(4\)chỉ có thể dư \(0\)hoặc \(1\).
Do đó ta có đpcm.
12 tháng 10 2018
Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là a, a + 1, a + 2 (a \(\in\) N). Ta có tổng các bình phương của ba số đó là:
a2 + (a + 1)2 + (a + 2)2
= a2 + (a2 + 2a + 1) + (a2 + 4a + 4)
= 3a2 + 6a + 5
= 3a(a + 2) + 5
Đến đây thì dễ
Giả sử n = 8k + 7 là tổng của 3 bình phương
Vì 8k + 7 là số lẻ nên 8k + 7 chỉ có thể tách thành tổng các bình phương của 3 số lẻ hoặc 2 số chẵn 1 số lẻ
Mà số chính phương chia 8 chỉ có thể dư 0; 1 hoặc 4
Do đó, nếu 8k + 7 có thể tách thành tổng 3 số lẻ thì 8k + 7 chia 8 dư 1 + 1 + 1 = 3, vô lý vì 8k + 7 chia 8 dư 7
nếu 8k + 7 có thể tách thành tổng 2 số chẵn 1 số lẻ thì 8k + 7 chia 8 dư 0 + 0 + 1 = 1 hoặc 0 + 4 + 1 = 5 hoặc 4 + 4 + 1 = 9, vô lý vì 8k + 7 chia 8 dư 7=>đpcm