Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O) và có trực tâm H.Ba điểm D, E, F lần lượt là chân các đường cao vẽ từ A, B, C của tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của cạnh BC, P là giao điểm của EF và BC. Đường thẳng DF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF tại điểm thứ hai là K.a) Chứng minh và KE song song với BC.b) Đường thẳng PH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF tại...
Đọc tiếp
Cho tam giác nhọn ABC 
(AB<AC) nội tiếp đường tròn 
(O) và có trực tâm H.
Ba điểm D, E, F lần lượt là chân các đường cao vẽ từ A, B, C của tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của cạnh BC, P là giao điểm của EF và BC. Đường thẳng DF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF tại điểm thứ hai là K.
a) Chứng minh 
và KE song song với BC.
b) Đường thẳng PH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF tại điểm thứ hai là Q. Chứng minh tứ giác BIQF nội tiếp đường tròn.
a) Tứ giác BCEF có \(\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^0\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow BCEF\)là tứ giác nội tiếp.
\(\Rightarrow\widehat{C_1}=\widehat{E_1}\)
\(\Delta PBE\)và \(\Delta PFC\)có: \(\widehat{EPC}\)chung; \(\widehat{E_1}=\widehat{C_1}\)
\(\Rightarrow\Delta PBE\)
\(\Delta PFC\)(g.g)
\(\Rightarrow\frac{PB}{PF}=\frac{PE}{PC}\Rightarrow PB.PC=PE.PF\)
Tứ giác BDHF có \(\widehat{BDH}=\widehat{BFH}=90^0\)(gt)
\(\widehat{BDH}+\widehat{BFH}=180^0\)
\(\Rightarrow\)BDHF là tứ giác nội tiếp.
\(\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{F_1}\)
Gọi J là trung điểm của AH. Dễ thấy \(\Delta HEF\)nội tiếp đường tròn \(\left(J;\frac{AH}{2}\right)\)
Tứ giác HEKF nội tiếp đường tròn (J)
\(\Rightarrow\widehat{F_1}=\widehat{HEK}\left(=180^0-\widehat{HFK}\right)\)
Mà \(\widehat{B_1}=\widehat{F_1}\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{HEK}\)
\(\Rightarrow KE//BC\left(đpcm\right)\)
b) Tứ giác BCEF nội tiếp\(\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{HFE}\)
Mà \(\widehat{B_1}=\widehat{F_1}\Rightarrow\widehat{DFE}=2\widehat{B_1}\)(1)
\(\Delta EBC\)vuông tại E, đường trung tuyến EI
\(\Rightarrow IB=IE=\frac{1}{2}BC\Rightarrow\Delta IBE\)cân tại I
\(\Rightarrow\widehat{I_1}=2\widehat{B_1}\)(t/c góc ngoài của tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\Rightarrow\widehat{I_1}=\widehat{DFE}\)
\(\Rightarrow DIEF\)là tứ giác nội tiếp.
Dễ chứng minh được \(\Delta PDF\)
\(\Delta PEI\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow PD.PI=PE.PF\)
và \(\Delta PHE\)
\(\Delta PFQ\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow PE.PF=PH.PQ\)
\(\Rightarrow PD.PI=PH.PQ\Rightarrow\frac{PD}{PQ}=\frac{PH}{PI}\)
\(\Rightarrow\Delta PDH\)
\(\Delta PQI\)(c.g.c)\(\Rightarrow\widehat{PHD}=\widehat{PIQ}\)
Lại có \(\widehat{PHD}=\widehat{AHQ}=\widehat{AFQ}\)
\(\Rightarrow BIOF\)là tứ giác nội tiếp.