Question

[tth_new]

Tìm nhiều cách chứng minh BĐT sau đây với a, b, c không âm? Liệu có thể không? (Không dùng Dirichlet)

Chứng minh: \(F=2\left(a^2+b^2+c^2\right)+abc+8-5\left(a+b+c\right)\ge0\)

Em chỉ mới tìm ra một cách mà không biết đúng hay sai nữa

Đặt \(A=\frac{1}{8}\left(4a+bc-5\right)^2+\frac{\left(2c+7\right)\left(c-1\right)^2}{c+4}\)

\(B=\frac{1}{8}\left(4a+4b-5\right)^2+2\left(c-\frac{5}{4}\right)^2+\frac{7}{4}\)

----------------------------------------------------------------------

Ta có các đẳng thức:

\(F=A-\frac{1}{8}\left(c-4\right)\left(4+c\right)\left(b-\frac{5}{4+c}\right)^2\)

\(F=B+ab\left(c-4\right)\)

\(\Rightarrow F=\frac{ab.A+\frac{1}{8}\left(4+c\right)\left(b-\frac{5}{4+c}\right)^2.B}{ab+\frac{1}{8}\left(4+c\right)\left(b-\frac{5}{4+c}\right)^2}\ge0\)

Mong mọi người tìm thêm các cách khác hay hơn ạ!

Answer 1

[Nguyễn Văn Tuấn Anh]

Sử dụng trường hợp riêng của BĐT Schur. Với a,b,c là các sooa thực ko âm và k>0 ta luôn có :

\(a^k\left(a-b\right)\left(a-c\right)+b^k\left(b-c\right)\left(b-a\right)+c^k\left(c-a\right)\left(c-b\right)\ge0\)

Answer 2

[zZz Cool Kid_new zZz]

Anh tth_new ơi,mẹ em bắt em dirichlet ạ :( Mẹ em còn chỉ em bài toán tổng quát là:

Cho a,b,c dương,CMR:\(m\left(a^2+b^2+c^2\right)+abc+3m+2\ge\left(2m+1\right)\left(a+b+c\right)\)

\(BĐT\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)+abc+8\ge5\left(a+b+c\right)\)

 Thôi,đi vào giải quyết bài toán.

Trong 3 số \(a-1;b-1;c-1\) có ít nhất 2 số cùng dấu,giả sử đó là \(a-1;b-1\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Rightarrow ab-a-b+1\ge0\Rightarrow abc\ge ac+bc-c\)

Khi đó BĐT tương đương với:

\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)+abc+8\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ac+bc-c+8\)

Ta cần chứng minh:

\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ac+bc-c+8\ge5\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(b+c-2\right)^2+\left(c+a-2\right)^2+3\left(a-1\right)^2+3\left(b-1\right)^2+2\left(c-1\right)^2\ge0\) 

Hình như cái BĐT cuối đúng thì phải ạ.

Dấu "=" xảy ra tại a=b=c=1