Question

[adfghjkl]

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, BC=2CC'.Gọi I,K lần lượt là trung điểm của BC và A'I. Chứng minh:

a) B'C' vuông góc (A'AI).

b) AK vuông góc (A'BC).

c, Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên AC. CM: B,H,K thẳng hàng

Ai cố giúp mình cả 3 câu vs, đề khó wa:)))

Answer 1

[Nguyễn Thành Trương]

a) Ta có:

\(AA'\perp\left(ABC\right)\Rightarrow BC\perp AA'\left(1\right)\)

\(\Delta ABC\) vuông cân tại $A$, $I$ là trung điểm $BC$ \(\Rightarrow BC\perp AI\left(2\right)\)

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: \(BC\perp\left(A'AI\right)\) mà \(B'C'//BC\Rightarrow B'C'\perp\left(A'AI\right)\)

b) Ta có $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$

$\Rightarrow AI = \dfrac{1}{2}BC=CC'=A'A$

$\Rightarrow \Delta A'AI$ cân tại $A$ mà $K$ là trung điểm $AI$ $\Rightarrow$ \(AK\perp A'I\left(3\right)\)

Lại có \(BC\perp\left(A'AI\right)\) mà \(AK\subset\left(A'AI\right)\Rightarrow AK\perp BC\left(4\right)\)

Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra: \(AK\perp\left(A'BC\right)\)

c) Ta có ​\(AK\perp\left(A'BC\right)\Rightarrow AK\perp A'C\left(5\right)\)

Lại có \(AB\perp AC\) và \(AB\perp AA'\Rightarrow AB\perp\left(A'AC\right)\Rightarrow AB\perp A'C\left(6\right)\)

Theo giả thiết \(AH\perp A'C\left(7\right)\)

Từ $(5), (6)$ và $(7)$ suy ra $AH,AK, AB$ cùng nằm trong mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) vuông góc với $A'C$

\(\Rightarrow H,K,B\) cùng thuộc \(\left(\alpha\right)\) mà $H,K,B$ cùng thuộc $(A'BC)$

​\(\Rightarrow H,K,B\) ​thuộc giao tuyến của \(\left(\alpha\right)\) với $(A'BC)$

\(\Rightarrow B,H,K\) thẳng hàng

Answer 2

[Nguyễn Thành Trương]

Hình minh họa thôi nhé !!