Question

[Kim Phương]

Bài 1: Cho tam giác ABC cân ở A . Gọi M , N,D lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC

a. Tứ giác MNBD là hình gì

b. Gọi E là điểm đối xứng với D qua N. Cm tứ giác ADCE là HCN

c. Để ADCE là hình vuông thì tam giác ABC cần thêm điều kiện gì?

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có B=60°, BC= 2AB. Gọi M,N lần lượt làtrung điểm của AD và BC

a. Cm: Tứ giác AMNB và MNCD là hình thoi

b. Tứ giác ANCD là hình gì

c. Gọi E là giao điểm của AN và BM, F là giao điểm của ND và MC . Tứ giác ENFM là hình gì

d. Để tứ giác ENFM là hình vuông thì hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì

( mong mọi người giúp ạ. Cảm ơn trước♡)

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Bài 1:

a) Xét ΔABC có

M là trung điểm của AB(gt)

N là trung điểm của AC(gt)

Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒MN//BC và \(MN=\frac{BC}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

Ta có: \(MN=\frac{BC}{2}\)(cmt)

mà \(BD=DC=\frac{BC}{2}\)(do D là trung điểm của BC)

nên MN=BD=DC

Xét tứ giác MNDB có MN//BD(MN//BC,D∈BC) và MN=BD(cmt)

nên MNDB là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

b) Ta có: AD là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC của ΔABC cân tại A(do D là trung điểm của BC)

⇒AD cũng là đường cao ứng với cạnh đáy BC của ΔABC cân tại A(định lí tam giác cân)

\(\Rightarrow\widehat{ADC}=90độ\)

Xét tứ giác ADCE có

N là trung điểm của đường chéo AC(gt)

N là trung điểm của đường chéo DE(do D và E đối xứng với nhau qua N)

Do đó: ADCE là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành ADCE có \(\widehat{ADC}=90độ\)(cmt)

nên ADCE là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

c) Để hình chữ nhật ADCE là hình vuông thì AD=DC

mà \(BD=DC=\frac{BC}{2}\)

nên \(AD=\frac{BC}{2}\)

Xét ΔABC có

AD là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(do D là trung điểm của DC)

\(AD=\frac{BC}{2}\)(cmt)

Do đó: ΔABC vuông tại A(định lí 2 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

mà ΔABC cân tại A(gt)

nên ΔABC vuông cân tại A

⇒\(\widehat{BAC}=90độ\)

Vậy: Khi ΔABC cân tại A có thêm điều kiện \(\widehat{BAC}=90độ\) thì tứ giác ADCE là hình vuông

Bài 2:

a) Ta có: BC=AD(BC và AD là hai cạnh đối trong hình bình hành ABCD)

mà \(BN=NC=\frac{BC}{2}\)(do N là trung điểm của BC)

và \(AM=MD=\frac{AD}{2}\)(do M là trung điểm của AD)

nên BN=NC=AM=MD

Xét tứ giác AMNB có BN//AM(do BC//AD,N∈BC,M∈AD) và BN=AM(cmt)

nên AMNB là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Ta có: \(AB=\frac{BC}{2}\)(gt)

mà \(BN=NC=\frac{BC}{2}\)(do N là trung điểm của BC)

nên AB=BN=NC

Hình bình hành AMNB có AB=BN(cmt)

nên AMNB là hình thoi(dấu hiệu nhận biết hình thoi)

Xét tứ giác NCDM có NC//MD(do BC//AD,N∈BC,M∈AD) và NC=MD(cmt)

nên NCDM là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Ta có: AB=CD(do AB và CD là hai cạnh đối trong hình bình hành ABCD)

mà AB=NC(cmt)

nên CD=NC

Hình bình hành NCDM có CD=NC(cmt)

nên NCDM là hình thoi(dấu hiệu nhận biết hình thoi)

b) Xét tứ giác ANCD có NC//AD(do BC//AD,N∈BC)

nên ANCD là hình thang(định nghĩa hình thang)

c)

Xét tứ giác ANCM có NC//AM(do BC//AD,N∈BC,M∈AD) và NC=AM(cmt)

nên ANCM là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

⇒AN=MC và AN//MC(AN và MC là hai cạnh đối trong hình bình hành ANCM)

Ta có: E là giao điểm của hai đường chéo BM và AN trong hình thoi ABNM(do \(AN\cap BM=\left\{E\right\}\))

nên E là trung điểm của AN(định lí hình thoi)

\(\Rightarrow EN=AE=\frac{AN}{2}\)

Ta có: F là giao điểm của hai đường chéo ND và CM trong hình thoi NCDM(do \(DN\cap CM=\left\{F\right\}\))

nên F là trung điểm của CM(định lí hình thoi)

\(\Rightarrow MF=FC=\frac{MC}{2}\)

Ta có: AN=MC(cmt)

mà \(EN=\frac{AN}{2}\)(cmt)

và \(MF=\frac{MC}{2}\)(cmt)

nên EN=MF

Xét tứ giác ENFM có EN//MF(do AN//MC, E∈AN,F∈CM) và EN=MF(cmt)

nên ENFM là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Ta có: BM⊥AN(do BM và AN là hai đường chéo trong hình thoi ABNM)

⇒\(\widehat{NEM}=90độ\)

Hình bình hành ENFM có \(\widehat{NEM}=90độ\)(cmt)

nên ENFM là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

d) Để hình chữ nhật ENFM là hình vuông thì EN=EM(1)

Ta có: E là giao điểm của hai đường chéo BM và AN trong hình thoi ABNM(do \(AN\cap BM=\left\{E\right\}\))

nên E là trung điểm của BM(định lí hình thoi)

\(\Rightarrow BE=EM=\frac{BM}{2}\)(2)

Ta có: \(EN=AE=\frac{AN}{2}\)(cmt)(3)

Từ (1) , (2) và (3) suy ra \(\frac{BM}{2}=\frac{AN}{2}\)

hay BM=AN

Hình thoi BNMA có hai đường chéo BM và AN bằng nhau(cmt)

nên BNMA là hình vuông(dấu hiệu nhận biết hình vuông)

\(\Rightarrow\widehat{ABN}=90độ\)

hay \(\widehat{ABC}=90độ\)(do C∈BN)

Vậy: Khi hình bình hành ABCD có thêm điều kiện là \(\widehat{ABC}=90độ\) thì tứ giác ENFM là hình vuông