Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
có cả mấy bất đẳng thức đó hả
bn viết công thức tổng quát ra cho mk vs
mk thanks
b+c\(\ge\) \(2\sqrt{bc}\)
(a+2b)(a+2c) =\(a^2 +2ac+2ab+ 4bc= a^2+2a(b+c) +4bc\)
\(\ge\)\(a^2+4a.\sqrt{bc}+4bc=\left(a+2\sqrt{bc}\right)^2\)
\(=>\sqrt{\left(a+2b\right)\left(a+2c\right)}=a+2\sqrt{bc}\)
tương tự: \(\sqrt{\left(b+2a\right)\left(b+2c\right)}=b+2\sqrt{ac}\)
\(\sqrt{\left(c+2a\right)\left(c+2b\right)}=c+2\sqrt{ab}\)
\(=>\sqrt{\left(a+2b\right)\left(a+2c\right)}+\sqrt{\left(b+2a\right)\left(b+2c\right)}+\sqrt{\left(c+2b\right)\left(c+2a\right)}\ge a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=3\)
khi a=b=c ( a,b,c nguyên dương nên a+b+c>0)
=> \(3\sqrt{a}=\sqrt{3}=>\sqrt{a}=\sqrt{b}=\sqrt{c}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
Thay vào M=\(\dfrac{1}{3}\)
Nè bạn :)
Ta có : \(2ab+2ac\ge4a\sqrt{bc}\) (Cauchy_)
\(\Rightarrow a^2+2ab+2ac+4bc\ge a^2+4a\sqrt{bc}+4bc\)
\(\Rightarrow a^2+2ab+2ac+4bc\ge\left(a+2\sqrt{bc}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(a+2b\right)\left(a+2c\right)}\ge a+2\sqrt{bc}\)\(\left(1\right)\)
Tương tự : \(\sqrt{\left(b+2a\right)\left(b+2c\right)}\ge b+2\sqrt{ac}\)\(\left(2\right)\)
\(\sqrt{\left(c+2a\right)\left(c+2b\right)}\ge c+2\sqrt{ab}\)\(\left(3\right)\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\)\(\Rightarrow\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\ge3\)
\(\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge\sqrt{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Thay vào biểu thức M ta được M = \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt{a\left(b+2c\right)}=\frac{\sqrt{3a\left(b+2c\right)}}{\sqrt{3}}\le\frac{\frac{3a+b+2c}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{3a+b+2c}{2\sqrt{3}}\)
Tương tự ta cũng có:\(\sqrt{b\left(c+2a\right)}\le\frac{3b+c+2a}{2\sqrt{3}}\)
\(\sqrt{c\left(a+2b\right)}\le\frac{3c+a+2b}{2\sqrt{3}}\)
Cộng theo vế các BĐT lại ta được:
\(VT\le\frac{3a+b+2c}{2\sqrt{3}}+\frac{3b+c+2a}{2\sqrt{3}}+\frac{3c+a+2b}{2\sqrt{3}}=\frac{6a+6b+6c}{2\sqrt{3}}=\frac{6.4}{2\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\)
a/ \(\sqrt[5]{2a+b}+\sqrt[5]{2b+c}+\sqrt[5]{2c+a}\)
\(=\frac{1}{\sqrt[5]{3^4}}\left(\sqrt[5]{3^4}.\sqrt[5]{2a+b}+\sqrt[5]{3^4}.\sqrt[5]{2b+c}+\sqrt[5]{3^4}.\sqrt[5]{2c+a}\right)\)
\(\le\frac{1}{\sqrt[5]{3^4}}\left(\frac{3+3+3+3+2a+b}{5}+\frac{3+3+3+3+2b+c}{5}+\frac{3+3+3+3+2c+a}{5}\right)\)
\(=\frac{1}{\sqrt[5]{3^4}}\left(\frac{36}{5}+\frac{3\left(a+b+c\right)}{5}\right)\)
\(=\frac{1}{\sqrt[5]{3^4}}.9=3\sqrt[5]{3}\)
\(\sqrt{a^2+2ac+2ab+4bc}\) + \(\sqrt{b^2+2bc+2ab+4ac}\) + \(\sqrt{c^2+2bc+2ac+4ab}\) =3
Haizzz mọi người ra chưa?
tth làm nhanh a đang cần =)))
mih ra r này