Question

[Nguyễn Khánh An]

Cho tam giác ABC cân tại A nội Tiếp đường tròn tâm O. Gọi D và H lần lượt là trung điểm các cạnh AC, BC. tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại điểm A cắt tia BD tại E tia CE cắt đường tròn tâm O tại điewmr thứ hai là F a/ chứng minh đường thang BC song song với đường thẳng AE b/ chứng minh tứ giác ABCE Là hình bình hành c/ chứng minh bốn điểm O, H, C, D, cùng thuôc một đường tròn d/ gọi I trung điểm CF, G giao điểm BC và OI . CMR GH=2AH.HO/BC

Giúp mình với

Answer 1

[Lê Diêu]

(Tự vẽ hình)

a) Ta có: AB=AC và HB=HC

=> AH là đường trung trực của đoạn thẳng BC nên AH⊥BC (1)

Mặt khác: OB=OC (bán kính) => O nằm trên đường trung trực AH.

Đồng thời: OA⊥AE (bán kính và tiếp tuyến) (2)

Từ (1) và (2) => BC//AE

b) Ta có \(\widehat{BCA}=\widehat{EAC}\) (so le trong do BC//AE)

\(\widehat{BDC}=\widehat{EDA}\) (đối đỉnh)

DC=DA (D là trung điểm AC)

=> ΔBCD=ΔEAD (g-c-g)

=> DB=DE

Vậy tứ giác ABCE có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành.

c) Ta có: OH⊥BC (AH là trung trực của BC)
và OD⊥AC (bán kính qua trung điểm dây cung)

Hai tam giác vuông OHC và ODC có chung cạnh huyền OC nên cùng nội tiếp trong đường tròn đường kính OC tức là 4 điểm O,H,C,D cùng nằm trên đường tròn đường kính OC.

d) Ta có OI⊥CF (bán kính qua trung điểm dây cung)

mà AB//CF (ABCE là hbh)

=> OI⊥AB

=> \(\widehat{HGO}=\widehat{HAB}\) (2 góc có các cạnh vuông góc và cùng nhọn)

mà \(\widehat{HAB}=\widehat{HAC}\) (tam giác ABC cân nên đường trung tuyến AH cũng là phân giác)

=> \(\widehat{HGO}=\widehat{HAC}\)

=> ΔHGO∼ΔHAC (từ (3) và có chung góc vuông H)

=> \(\frac{GH}{AH}=\frac{HO}{HC}\Leftrightarrow GH=\frac{AH.HO}{HC}=\frac{AH.HO}{\frac{BC}{2}}\\ GH=\frac{2.AH.HO}{BC}\)