Cho a,b,c>0 và thỏa mãn điều kiện: a+b+c+ab+bc+ca=6
CMR: \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\ge3\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
23 tháng 12 2018
Ad bđt : \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\) (Cái bđt này c/m dễ : Nhân 2 vế với 2 -> chuyển vế -> tổng bình phương > 0 luôn đúng)
Kết hợp với bđt Cô-si cho 2 số dương ta đc
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\left(\frac{a^3}{b}+ab\right)+\left(\frac{b^3}{c}+bc\right)+\left(\frac{c^3}{a}+ac\right)-\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\ge2\sqrt{\frac{a^3}{b}.ab}+2\sqrt{\frac{b^3}{c}.bc}+2\sqrt{\frac{c^3}{a}.ac}-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=2a^2+2b^2+2c^2-a^2-b^2-c^2\)
\(=a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\left(1\right)\)
Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương
\(a^2+b^2\ge2ab\)
\(b^2+c^2\ge2bc\)
\(c^2+a^2\ge2ac\)
\(a^2+1\ge2a\)
\(b^2+1\ge2b\)
\(c^2+1\ge2c\)
Cộng từng vế của 6 bđt trên lại ta đc
\(3\left(a^2+b^2+c^2+1\right)\ge2\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2+1\right)\ge2.6\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+1\ge4\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\ge3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c+ab+bc+ca=6\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+a+a+aa+aa+aa=6\end{cases}}\)(thay hết b , c thành a)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\3a^2+3a=6\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\a^2+a-2=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\\left(a-1\right)\left(a+2\right)=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=1\)hoặc \(a=b=c=-2\)
Mà a,b,c là các số dương nên a = b = c = 1
Vậy ............
LM
5 tháng 10 2017
Xét \(P=\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right)^2\)
\(P=\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)=\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+6\)
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
\(\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}\ge2\sqrt{b^4}=2b^2\)
Tương tự, ta có: \(P=\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+6\ge a^2+b^2+c^2+6=9\)
\(\Rightarrow P\ge3\)
6 tháng 2 2019
Đề khắm vậy -_- a + b = 3 - c thì viết luôn thành a + b + c = 3 cho rồi .... bày đặt
Áp dụng bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\left(x;y;z>0\right)\)
\(VT=a^3+b^3+c^3+2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge a^3+b^3+c^3+\frac{18}{a+b+c}\)
\(=a^3+b^3+c^3+6\)
Áp dụng bđt Cô-si cho 3 số ta đc
\(a^3+1+1\ge3\sqrt[3]{a^3.1.1}=3a\)
\(b^3+1+1\ge3b\)
\(c^3+1+1\ge3c\)
Cộng từng vế vào ta được
\(VT\ge a^3+b^3+c^3+6\ge3\left(a+b+c\right)=\left(a+b+c\right)^2\)
Lại có : \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)(Phá ngoặc + chuyển vế -> tổng bình phương)
\(\Rightarrow VT\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)(Đpcm)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1
Vậy ....
8 tháng 1 2020
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc\)
\(=abc+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+abc+abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)( phân tích nhân tử các kiểu )
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\left(1\right)\)
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\)
\(\Rightarrow-abc\ge\frac{-\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
Khi đó:\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
\(\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-\frac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
\(=\frac{8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) có đpcm
HM
6 tháng 4 2018
Cho mk k nhé!
4/1x3x5 = 1/1x3 - 1/3x5
4/3x5x7 = 1/3x5 - 1/5x7
.............
A = 1/1x3 - 1/11x13
1/1x3x5 = 1/4 x (1/1x3 - 1/3x5)
1/3x5x7 = 1/4 x (1/3x5 - 1/5x7)
..........
B = 1/4 x (1/1x3 - 1/11x13)
7 tháng 7 2018
Từ giả thiết:\(ab+bc+ca=3\Rightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2=9\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)=9\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=9-2abc\left(a+b+c\right)\)
Ta có:\(\frac{a}{2a^2+bc}+\frac{b}{2b^2+ca}+\frac{c}{2c^2+ab}\)\(=\frac{1}{\frac{2a^2+bc}{a}}+\frac{1}{\frac{2b^2+ca}{b}}+\frac{1}{\frac{2c^2+ab}{c}}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2a+\frac{bc}{a}+2b+\frac{ca}{b}+2c+\frac{ab}{c}}=\frac{9}{2a+2b+2c+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}}\)
\(=\frac{9}{2a+2b+2c+\frac{b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2}{abc}}=\frac{9}{2a+2b+2c+\frac{9-2abc\left(a+b+c\right)}{abc}}\)
\(=\frac{9}{2a+2b+2c+\frac{9}{abc}-2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{\frac{9}{abc}}=abc\)
Dấu "=" xảy ra khi
\(\frac{2a^2+bc}{a}=\frac{2b^2+ca}{b}=\frac{2c^2+ab}{c}=\frac{2a^2+bc-2b^2-ca}{a-b}=\frac{2\left(a-b\right)\left(a+b\right)-c\left(a-b\right)}{a-b}\)
\(=2\left(a+b\right)-c\).Tương tự ta có:\(2\left(a+b\right)-c=2\left(b+c\right)-a=2\left(c+a\right)-b\)
\(\Leftrightarrow a+b=b+c=c+a\)
\(\Leftrightarrow a=b=c\)
N
4 tháng 7 2020
\(\frac{a^3}{b^2+3}=\frac{a^3}{b^2+ab+bc+ca}=\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\)
Tương tự
\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{a^3}{b^2+3}=\Sigma_{cyc}\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\)
Theo Cô-si:\(\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{b+c}{8}\ge\frac{3}{4}a\)
\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\ge\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)\ge\frac{1}{4}\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{4}\)
Chứng minh BĐT vế trái:
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel:
\(VT=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ca}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge a^2+b^2+c^2\)
Tiếp theo, chứng minh BĐT vế phải:\(a^2+b^2+c^2\ge3\)
Từ giả thiết suy ra: \(6=a+b+c+ab+bc+ca\le a+b+c+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\Rightarrow a+b+c\ge3\)
Ta có: \(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge3\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1