cho a b c là các số dương thỏa mãn a^2+2b^2<=3c^2. cm 1/a+2/b>=3/c
giúp mk vs các bạn ơi
nhanh nhé
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
15 tháng 9 2023
1) \(\left\{{}\begin{matrix}a^3+b^3+c^3=3abc\\a+b+c\ne0\end{matrix}\right.\) \(\left(a;b;c\in R\right)\)
Ta có :
\(a^3+b^3+c^3\ge3abc\) (Bất đẳng thức Cauchy)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\left(a^3+b^3+c^3=3abc\right)\)
Thay \(a=b=c\) vào \(P=\dfrac{a^2+2b^2+3c^2}{3a^2+2b^2+c^2}\) ta được
\(\Leftrightarrow P=\dfrac{6a^2}{6a^2}=1\)
15 tháng 9 2023
\(3^x=y^2+2y\left(x;y>0\right)\)
\(\Leftrightarrow3^x+1=y^2+2y+1\)
\(\Leftrightarrow3^x+1=\left(y+1\right)^2\left(1\right)\)
- Với \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\)
\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow3^0+1=\left(0+1\right)^2\Leftrightarrow2=1\left(vô.lý\right)\)
- Với \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)
\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow3^1+1=\left(1+1\right)^2=4\left(luôn.luôn.đúng\right)\)
- Với \(x>1;y>1\)
\(\left(y+1\right)^2\) là 1 số chính phương
\(3^x+1=\overline{.....1}+1=\overline{.....2}\) không phải là số chính phương
\(\Rightarrow\left(1\right)\) không thỏa với \(x>1;y>1\)
Vậy với \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\) thỏa mãn đề bài
L
1
26 tháng 4 2020
BĐT cần chứng minh tương đương với :
\(\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(2+\frac{1}{a^2b^2c^2}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+\frac{1}{ab^2}+\frac{1}{bc^2}+\frac{1}{ca^2}\ge9\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương ,ta có :
\(a^2b+a^2b+\frac{1}{ab^2}\ge3\sqrt[3]{a^2b.a^2b.\frac{1}{ab^2}}=3a\)
tương tự : \(b^2c+bc^2+\frac{1}{bc^2}\ge3b\), \(\left(c^2a+ca^2+\frac{1}{ca^2}\right)\ge3c\)
Cộng 3 BĐT trên theo vế, ta được :
\(2\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+\frac{1}{ab^2}+\frac{1}{bc^2}+\frac{1}{ca^2}\ge3\left(a+b+c\right)=9\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
QM
0
NN
13
T
10 tháng 3 2020
\(VT-VP=\frac{\left(2bc+3a-5\right)^2}{3}+\frac{\left(6c+1\right)\left(c-1\right)^2}{2c+3}-\frac{\left(2bc+3b-5\right)^2\left(2c-3\right)}{3\left(2c+3\right)}\)
\(=\frac{\left(3a+3b-5\right)^2}{3}+\frac{\left(3c-5\right)^2}{3}+\frac{1}{3}+2ab\left(2c-3\right)\)
Từ 2 đẳng thức trên suy ra đpcm. (cái đầu đúng cho \(c\le\frac{3}{2}\), cái sau cho \(c\ge\frac{3}{2}\))
Và ta có thể viết SOS cho bài trên! Cách viết dựa trên dao lam, mời các bạn:)
10 tháng 3 2020
Vì a + b + c = 3 nên theo nguyên lí Dirichlet: Tồn tại ít nhất hai số đồng thời không bé hơn 1 hoặc đồng thời không lớn hơn 1
Không mất tính tổng quát có thể g/s hai số đó là a và b
Khi đó ta có: \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)
<=> \(ab\ge a+b-1\)
<=> \(abc\ge ac+bc-c=ac+bc+c^2-c^2-c=c\left(a+b+c\right)-c^2-c=2c-c^2\)
Khi đó: \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+4abc\ge\frac{3\left(a+b\right)^2}{2}+3c^2+8c-4c^2=\frac{3\left(3-c\right)^2}{2}-c^2+8c\)
\(=\frac{1}{2}c^2-c+\frac{27}{2}=\frac{1}{2}\left(c^2-2c+1\right)-\frac{1}{2}+\frac{27}{2}=\frac{7}{2}\left(c-1\right)^2+13\ge13\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1/
18 tháng 5 2023
Ta có \(a+b^2\le\dfrac{a^2+1}{2}+b^2=\dfrac{a^2+2b^2+1}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{2a^2}{a+b^2}\ge\dfrac{4a^2}{a^2+2b^2+1}=\dfrac{4a^4}{a^4+2b^2a^2+a^2}\). Lập 2 BĐT tương tự rồi áp dụng bất đẳng thức BCS, ta có:
\(\dfrac{2a^2}{a+b^2}+\dfrac{2b^2}{b+c^2}+\dfrac{2c^2}{c+a^2}\ge\dfrac{\left(2a^2+2b^2+2c^2\right)^2}{a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+a^2+b^2+c^2}\) \(=\dfrac{4\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2+3}\)\(=\dfrac{4.3^2}{3^2+3}=3\).
Mà \(a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\) nên ta có đpcm. ĐTXR \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)