Cho hình chữ nhật ABCD với tâm đối xứng O. Từ các đỉnh A, C kẻ các đường vuông góc với đường chéo BD. Từ các đỉnh B, D kẻ các đường vuông góc với đường chéo AC, các đường vuông góc từ đỉnh A và B cắt nhau tại Q và các đường vuông góc từ đỉnh C và D cắt nhau tại N. Gọi M và P lần lượt là giao điểm của AQ với DN và BQ với CN. Chứng minh rằng:
a) M và P đối xứng với nhau qua tâm O.
b) Tứ giác MNPQ là hình thoi.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Vẽ hình vuông ABCD có cạnh 5cm. Nối đỉnh A với đỉnh C, đỉnh B với đỉnh D.
b) Kiểm tra rồi viết (Đ) đúng, (S) sai vào ô trống
- Hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau | Đ |
- Hai đường chéo AC và BD không vuông góc với nhau | S |
- Hai đường chéo AC và BD bằng nhau | Đ |
- Hai đường chéo AC và BD không bằng nhau | S |
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
a)
$\widehat{ABD}=\widehat{DCA}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)
$\Leftrightarrow \widehat{ABE}=\widehat{DCE}=90^0$
Tứ giác $ABEH$ có tổng 2 góc đối $\widehat{ABE}+\widehat{AHE}=90^0+90^0=180^0$ nên là tứ giác nội tiếp.
Tứ giác $DCEH$ có tổng 2 góc đối $\widehat{DCE}+\widehat{EHD}=90^0+90^0=180^0$ nên là tứ giác nội tiếp.
b)
Từ 2 tứ giác nội tiếp phần a, kết hợp với $ABCD$ là tứ giác nội tiếp, ta có:
\(\widehat{HBE}=\widehat{EAH}=\widehat{CAD}=\widehat{CBD}=\widehat{CBE}\) nên $BE$ là tia phân giác $\widehat{HBC}$
\(\widehat{HCE}=\widehat{EDH}=\widehat{BDA}=\widehat{BCA}=\widehat{BCE}\) nên $CE$ là tia phân giác $\widehat{BCH}$
Do đó $E$ chính là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $BCH$
c) Sử dụng tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền. Suy ra $IH=IC=EI=ID$.
Ta có:
\(\widehat{IHD}=\widehat{IDH}=\widehat{ODB}=\widehat{OBD}=\widehat{OBI}\) nên $OBIH$ là tứ giác nội tiếp $(1)$
Mặt khác:
$\widehat{HIC}=\widehat{HIB}+\widehat{CIB}$
$=2\widehat{IDH}+2\widehat{CDI}$
$=2\widehat{HDC}=2\widehat{ADC}=2(90^0-\widehat{CAD})$
$=180^0-2\widehat{CBE}=180^0-\widehat{CBH}$
$\Rightarrow BHIC$ là tứ giác nội tiếp $(2)$
Từ $(1);(2)$ suy ra đpcm.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Xét ΔAED vuông tại E và ΔCFB vuông tại F có
AD=CB(Hai cạnh đối của hình bình hành ABCD)
\(\widehat{D}=\widehat{B}\)(Hai góc đối của hình bình hành ABCD)
Do đó: ΔAED=ΔCFB(cạnh huyền-góc nhọn)
Suy ra: AE=CF(Hai cạnh tương ứng) và ED=FB(hai cạnh tương ứng)
Ta có: ED+EC=DC(E nằm giữa D và C)
FB+FA=AB(F nằm giữa A và B)
mà AB=DC(Hai cạnh đối của hình bình hành ABCD)
và ED=FB(cmt)
nên EC=FA
Xét tứ giác ECFA có
EC=FA(cmt)
EA=CF(cmt)
Do đó: ECFA là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD nên MN là đường trung bình của ∆ABD => MN // BD
Mà AC⊥BD nên MN⊥AC hay LA⊥MN (1)
N, L lần lượt là trung điểm của AD, AC nên NL là đường trung bình của ∆ADC => NL // DC
Mà MH⊥DC nên NL⊥MH (2)
Từ (1) và (2) suy ra H là trực tâm của tam giác MNL (đpcm)