cho a,b,x,y là các số thực thỏa mãn : \(x^2+y^2=1\)và \(\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}=\frac{1}{a+b}\)
Chứng minh rằng \(\frac{x^{2018}}{a^{1009}}+\frac{y^{2018}}{b^{1009}}=\frac{1}{\left(a+b\right)^{1009}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
30 tháng 3 2020
Ta có \(\frac{x^3}{\left(y+z\right)^2}=\frac{x^3}{\left(2018-x\right)^2}\)
Xét \(\frac{x^3}{\left(2018-x\right)^2}\ge x-\frac{1009}{2}\)
<=> \(x^3\ge\left(2018^2-2.2018.x+x^2\right)\left(x-\frac{1009}{2}\right)\)
<=> \(x^3\ge x^3-x^2\left(\frac{1009}{2}+2018.2\right)+x\left(2018.1009+2018^2\right)-\frac{2018^2.1009}{2}\)
<=> \(\frac{9081}{2}x^2-6.1009^2.x+2018.1009^2\ge0\)
<=> \(\frac{9081}{2}\left(x^2-\frac{2.2018}{3}.x+\left(\frac{2018}{3}\right)^2\right)\ge0\)
<=> \(\frac{9081}{2}\left(x-\frac{2018}{3}\right)^2\ge0\)( luôn đúng)
=> \(\frac{x^3}{\left(y+z\right)^2}\ge x-\frac{1009}{2}\)
Khi đó \(VT\ge x-\frac{1009}{2}+y-\frac{1009}{2}+z-\frac{1009}{2}=2018-\frac{3}{2}.1009=\frac{1009}{2}\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2018}{3}\)
30 tháng 3 2020
Ta có : \(\frac{x^3}{\left(y+z\right)^2}=\frac{x^3}{\left(2018-x\right)^2}\)
xét \(\frac{x^3}{\left(2018-x\right)^2}\ge x-\frac{1009}{2}\)
<=> \(x^3\ge\left(x^2-2.2018.x+2018^2\right)\left(x-\frac{1009}{2}\right)\)
<=> \(x^3\ge x^3-x^2\left(\frac{1009}{2}+2.2018\right)+x\left(2018^2+1009.2018\right)-\frac{2018^2.1009}{2}\ge0\)
<=> \(\frac{9081}{2}x^2-6.1009^2.x+2018.1009^2\ge0\)
<=> \(\frac{9081}{2}.\left(x-\frac{2018}{3}\right)^2\ge0\)( luôn đúng)
=> \(\frac{x^3}{\left(y+z\right)^2}\ge x-\frac{1009}{2}\)
Khi đó \(P\ge x+y+z-\frac{3.1009}{2}=\frac{1009}{2}\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2018}{3}\)
27 tháng 4 2020
Ta có: \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=1\\\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}=\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{a+b}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow b\left(a+b\right)x^4+a\left(a+b\right)y^4=ab\left(x^4+2x^2y^2+y^4\right)\)
\(\Leftrightarrow b^2x^4+a^2y^4-2abx^2y^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(bx^2-ay^2\right)^2=0\)
\(\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}=\frac{x^2+y^2}{a+b}=\frac{1}{a+b}\)
\(\Rightarrow\frac{x^{2016}}{a^{1008}}=\frac{y^{2016}}{b^{1008}}=\frac{1}{\left(a+b\right)^{1008}}\)
\(\Rightarrow\frac{x^{2016}}{a^{1008}}+\frac{y^{2016}}{b^{21008}}=\frac{2}{\left(a+b\right)^{1008}}\)
27 tháng 4 2020
Em vào câu hỏi tương tự tham khảo:
Ta có: \(x^2+y^2=1\Leftrightarrow x^4+2x^2y^2+y^4=1\)
Khi đó: \(\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}=\frac{x^4+2x^2y^2+y^4}{a+b}\)
<=> \(\left(a+b\right)\left(\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}\right)=x^4+2x^2y^2+y^4\)
<=> \(\frac{b}{a}x^4+\frac{a}{b}y^4=2x^2y^2\)
<=> \(\frac{x^4}{a^2}+\frac{y^4}{b^2}-\frac{2x^2y^2}{ab}=0\)
<=> \(\left(\frac{x^2}{a}-\frac{y^2}{b}\right)^2=0\)
<=> \(\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}=\frac{x^2+y^2}{a+b}=\frac{1}{a+b}\)( dãy tỉ số bằng nhau)
Khi đó: \(\frac{x^{2016}}{a^{1008}}+\frac{y^{2016}}{b^{1008}}=2\frac{x^{2016}}{a^{1008}}=\frac{2}{\left(a+b\right)^{1008}}\)
25 tháng 8 2020
Ta có: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Rightarrow a^{2018}+b^{2018}+c^{2018}\ge\left(ab\right)^{1009}+\left(bc\right)^{1009}+\left(ca\right)^{1009}\)
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Mà đẳng thức trên xảy ra dấu =
\(\Leftrightarrow a=b=c\Leftrightarrow P=0\)
Bài kia tí nghĩ nốt, khó v
TP
26 tháng 8 2020
Sửa đề em nhé: \(\frac{2}{ab}-\frac{1}{c^2}=4\) và tính \(a+b+2c\)
Có: \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca}=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca}+4=4\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)^2+\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}=\frac{-1}{c}\\\frac{1}{b}=\frac{-1}{c}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-c\\b=-c\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow a+b+2c=0\)