K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

20 tháng 10 2021

Ta dễ có bất đẳng thức \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c

Mà a+b+c=2021 nên a=b=c=2021/3

12 tháng 12 2021

giúp tôi vs, tôi đang cần gấp

12 tháng 12 2021

tra mạng ko có ???

7 tháng 3 2021

Ta có

   \(a+b+c=6\)

  \(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=36\)

  \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=36\)

   Mà \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)

 Khi đó ta có

     \(3\left(ab+bc+ca\right)=36\)

 \(\Leftrightarrow ab+bc+ca=12\)

  \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2ab+2bc+2ca=24\\2a^2+2b^2+2c^2=24\end{cases}}\)

 \(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}}}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{6}{3}=2\)  ( 1 )

  Thay (1) vào C ta có

        \(C=\left(1-2\right)^{2021}+\left(2-1\right)^{2021}+\left(2-2\right)^{2021}\)

             \(=-1+1+0=0\)

         Vậy ......................

12 tháng 8 2023

a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca 

<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0

<=> (a2 - 2ab + b2) + (b2 - 2ca + c2) + (c2 - 2ac + a2) = 0

<=> (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0

Dễ thấy   (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 \(\ge0\forall a,b,c\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\a-c=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c\)

Mà a + b + c = 2025 

nên \(a=b=c=675\)

12 tháng 8 2023

a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca 

<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0

<=> (a2 - 2ab + b2) + (b2 - 2ca + c2) + (c2 - 2ac + a2) = 0

<=> (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0

Dễ thấy   (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 ≥0∀�,�,�

Dấu "=" xảy ra khi {�−�=0�−�=0�−�=0⇔�=�=�

Mà a + b + c = 2025 

nên �=�=�=675

9 tháng 8 2015

\(a\text{) }\)Áp dụng: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) (a, b > 0). Dấu "=" xảy ra khi a = b.

\(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+\frac{1}{2.\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\)

\(=6\left[\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{27}{8}\left(a+b\right)+\frac{27}{8}\left(a+b\right)\right]-\frac{81}{2}\left(a+b\right)\)

\(\ge6.3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a+b\right)^2}.\frac{27}{8}\left(a+b\right).\frac{27}{8}\left(a+b\right)}-\frac{81}{2}\left(a+b\right)\)

\(=\frac{81}{2}-\frac{81}{2}\left(a+b\right)\)

Tương tự: \(\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{bc}\ge\frac{81}{2}-\frac{81}{2}\left(b+c\right)\)

\(\frac{1}{c^2+a^2}+\frac{1}{ca}\ge\frac{81}{2}-\frac{81}{2}\left(c+a\right)\)

Cộng theo vế ta được 

\(A\ge3.\frac{81}{2}-81\left(a+b+c\right)=3.\frac{81}{2}-81=\frac{81}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}.\)

Vậy GTNN của A là \(\frac{81}{2}.\)

 

 

21 tháng 4 2021

\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\)

\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\) (1)

Mà: \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\) 

Nên PT (1) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(a-c\right)^2=0\end{matrix}\right.\)

=> a = b = c

\(P=\left(a-b\right)^{2020}+\left(b-c\right)^{2021}+\left(c-a\right)^{2022}\)

\(=\left(a-a\right)^{2020}+\left(b-b\right)^{2021}+\left(c-c\right)^{2022}\)

= 0

 

12 tháng 2 2022

Ta có : \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\Leftrightarrow a=b=c\)

\(T=\frac{a^{2021}+b^{2021}+c^{2021}}{\left(a+b+c\right)^{2021}}=\frac{b^{2021}+b^{2021}+b^{2021}}{\left(b+b+b\right)^{2021}}=\frac{3b^{2021}}{\left(3b\right)^{2021}}=\frac{3}{3^{2021}}=\frac{1}{3^{2020}}\)