cho a+b+c=1 tìm gtnn
A=\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CV
3 tháng 2 2019
theo giả thiết => a+b+c=3abc
ta có:
\(P>=\frac{\left(b\sqrt{a}+a\sqrt{c}+c\sqrt{b}\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)(theo cauchy schawarz)\(=\frac{\left(b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+a\sqrt{c}\right)^2}{6abc}\)
=>\(P>=\frac{\left(3\sqrt[3]{abc\sqrt{abc}}\right)^2}{6abc}\)(cô si)=3/2
dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=\(\frac{1}{2}\)
VT
27 tháng 12 2017
ta có A=\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}+\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}+\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}\)
mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Rightarrow\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\ge\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}+...\)
Áp dụng bđt co si ta có , \(\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\)
tương tự mấy cái kia rồi + vào thì A>=...
K
17 tháng 9 2021
Ta có :\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)=3\)=> \(a+b+c\ge\sqrt{3}\)
\(\frac{a^3}{b^2+1}=\frac{a^3}{b^2+ab+bc+ac}=\frac{a^3}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}\)
Áp dụng bđt cosi ta có:
\(\frac{a^3}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\frac{b+a}{8}+\frac{b+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{8.8}}=\frac{3}{4}a\)
CM tuong tự
=> \(P+2.\left(\frac{b+a}{8}+\frac{b+c}{8}+\frac{a+c}{8}\right)\ge\frac{3}{4}a+\frac{3}{4}b+\frac{3}{4}c\)
=>\(P\ge\frac{a+b+c}{4}\ge\frac{\sqrt{3}}{4}\)
=>\(MinP=\frac{\sqrt{3}}{4}\)xảy ra khi \(a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
18 tháng 9 2018
\(a+b+c+ab+bc+ca=6abc\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=6\)
Đặt \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z+xy+yz+zx=6\\P=x^2+y^2+z^2\end{cases}}\)
\(6=x+y+z+xy+yz+zx\le x+y+z+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\ge3\)
\(\Rightarrow P=x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\ge\frac{9}{3}=3\)
TN
15 tháng 6 2017
$ab+bc+ca=3$. CMR: $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\geqslant \frac{3}{2}$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học
30 tháng 5 2019
Từ giả thiết và BĐT AM-GM suy ra:\(\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)\(\ge\)3
Ta có:
P\(\ge\)\(\frac{2a^3}{3\left(a^2+b^2\right)}\)+\(\frac{2b^3}{3\left(c^2+b^2\right)}\)+\(\frac{2c^3}{3\left(a^2+c^2\right)}\)
=\(\frac{2}{3}\)(\(\frac{a\left(a^2+b^2\right)-ab^2}{\left(a^2+b^2\right)}\)+\(\frac{b\left(c^2+b^2\right)-bc^2}{\left(c^2+b^2\right)}\)+\(\frac{a\left(a^2+c^2\right)-ca^2}{\left(a^2+c^2\right)}\))
=\(\frac{2}{3}\)(a+b+c-\(\frac{ab^2}{\left(a^2+b^2\right)}\)-\(\frac{bc^2}{\left(c^2+b^2\right)}\)-\(\frac{ca^2}{\left(a^2+c^2\right)}\))
\(\ge\)\(\frac{2}{3}\)(a+b+c-\(\frac{a}{2}\)-\(\frac{b}{2}\)-\(\frac{c}{2}\))
=\(\frac{2}{3}\).\(\frac{a+b+c}{2}\)=\(\frac{a+b+c}{3}\)=\(\frac{\left(a+1\right)+\left(b+1\right)+\left(c+1\right)}{3}\)-1
\(\ge\)\(\frac{3\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}{3}\)-1\(\ge\)2
Vậy:MinP=2 khi a=b=c=2
30 tháng 5 2019
cách này dễ hiểu hơn nè :
Áp dụng BĐT : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)
Ta có : \(1\ge\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{9}{a+b+c+3}\)
\(\Leftrightarrow1\ge\frac{9}{a+b+c+3}\)\(\Leftrightarrow a+b+c+3\ge9\)\(\Leftrightarrow a+b+c\ge6\)
\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{a\left(a^2+ab+b^2\right)-ab^2-a^2b}{a^2+ab+b^2}=a-\frac{ab^2+a^2b}{a^2+ab+b^2}\ge a-\frac{ab\left(a+b\right)}{3ab}=a-\frac{a+b}{3}\)
Tương tự : \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}\ge b-\frac{b+c}{3}\); \(\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}\ge c-\frac{a+c}{3}\)
Cộng cả 3 vế , ta được : \(P\ge a+b+c-\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}=\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\frac{1}{3}.6=2\)
Vậy GTNN của P là 2 \(\Leftrightarrow a=b=c=2\)
\(A\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)
\(A\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{4}{2ab+2ac+2bc}+\frac{7}{ab+bc+ca}\)
\(A\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}+\frac{7}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}\)
\(A\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{21}{\left(a+b+c\right)^2}=30\)
\(A_{min}=30\) khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)