1/CMR a/$x^4-2x^3 2x^2-2x 1\ge0\forall x\in R$ b/cho $a\ge0,b\ge2,a b c=3$. CMR : $a^2 b^2 c^2\le5$ c/cho a,b,c >0 . CMR : \(\frac{b c}{a} \frac{a c}{b} \frac{a b}{c}\ge4\left(\frac{a}{b c} \...

S

Sakura

15 tháng 8 2019

1/CMR a/$x^4-2x^3+2x^2-2x+1\ge0\forall x\in R$ b/cho $a\ge0,b\ge2,a+b+c=3$. CMR : $a^2+b^2+c^2\le5$ c/cho a,b,c >0 . CMR : $\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}\ge4\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)$ 2/ cho $x,y\ge0,x+y=1$. tìm GTLN,GTNN của A =$x^2+y^2$ 3/ cho x,y>0 .tìm GTNN của B=...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

0

S

Sakura

14 tháng 8 2019

1/CMR

a/$x^4-2x^3+2x^2-2x+1\ge0\forall x\in R$

b/cho $a\ge0;b\ge2;a+b+c=3$

CMR: $a^2+b^2+c^2\le5$

c/ a,b,c>0 CMR: $\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}\ge4\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)$

#Toán lớp 9

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

14 tháng 8 2019

Bài 1:

a) Ta thấy:

$x^4-2x^3+2x^2-2x+1=(x^4-2x^3+x^2)+(x^2-2x+1)$

$=(x^2-x)^2+(x-1)^2\geq 0, \forall x\in\mathbb{R}$

Dấu "=" xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x^2-x=0\\ x-1=0\end{matrix}\right.$ hay $x=1$

b) Đề sai với $a=0,5; b=2,3; c=0,2$. Nếu đề bài của bạn giống bài dưới đây, tham khảo nó tại link sau:

Câu hỏi của bach nhac lam - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

Đúng(0)

KK

KCLH Kedokatoji

28 tháng 9 2020 - olm

(Nghi binh 28/09)Đang có hứng:Bài 1: CMR $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge2\forall a,b,c\ge0$Bài 2: CMR $\frac{4\left(a^3+b^3+c^3\right)}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\ge4\left(a+b+c\right)$$\forall a,b,c\ge0$Bài 1 thì dễ rồi, bài 2 mình mới tìm...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

5

NC

Ngô Chi Lan

28 tháng 9 2020

Não đặc-.-

Nếu sửa đề ntn thì mk nghĩ không ngược dấu mới làm được nek

Bài 1: CMR: $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-\frac{8abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0$ với a,b,c dương

Bài làm:

Ta có: $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-\frac{8abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}$

$\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{b^2+c^2}{2}+\frac{c^2+a^2}{2}}-\frac{8abc}{2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ca}}$

$=\frac{a^2+b^2+c^2}{\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}}-\frac{8abc}{8abc}$

$=1-1=0$

Dấu "=" xảy ra khi: $a=b=c$

Đúng(0)

KK

KCLH Kedokatoji

28 tháng 9 2020

Vãi bạn, mình đang đưa các bài tập về các bđt ngược chiều nên đề như thế là đúng r

Đúng(0)

S

senorita

28 tháng 3 2019 - olm

1. $3x^2+21x+18+2\sqrt{x^2+7x+7}=2$

2. $x^4+2x^3+x^2-2+2\sqrt{x^2+2x+2}=0$

3. Cho các số dương a,b,c CMR

$\frac{7}{a}+\frac{5}{b}+\frac{4}{c}\ge4\left(\frac{4}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{3}{c+a}\right)$

4. Cho $\sqrt{1+x}+\sqrt{1+y}=2\sqrt{1+a}$CMR $x+y\ge2a$

#Toán lớp 9

0

BN

bach nhac lam

19 tháng 10 2019

1. cho $0< a\le b\le c$ . Cmr: $\frac{2a^2}{b^2+c^2}+\frac{2b^2}{c^2+a^2}+\frac{2c^2}{a^2+b^2}\le\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$ 2. cho $a,b,c\ge0$. cmr: $a^2+b^2+c^2+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\ge2\left(ab+bc+ca\right)$ 3. $a,b,c>0.$ Cmr: $\sqrt{\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)}\ge abc+\sqrt[3]{\left(a^3+abc\right)\left(b^3+abc\right)\left(c^3+abc\right)}$ 4. $a,b,c0$. Tìm Min...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

5

T

tthnew

11 tháng 11 2019

2/ Không mất tính tổng quát, giả sử $c=min\left\{a,b,c\right\}$.

Nếu abc = 0 thì có ít nhất một số bằng 0. Giả sử c = 0. BĐT quy về: $a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0$ (luôn đúng)

Đẳng thức xảy ra khi a = b; c = 0.

Nếu $abc\ne0$. Chia hai vế của BĐT cho $\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}$

BĐT quy về: $\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{a^4}{b^2c^2}}+3\ge2\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{ab}{c^2}}$

Đặt $\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=x;\sqrt[3]{\frac{b^2}{ca}}=y;\sqrt[3]{\frac{c^2}{ab}}=z\Rightarrow xyz=1$

Cần chúng minh: $x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz+1\ge2\left(xy+yz+zx\right)$ (1)

Theo nguyên lí Dirichlet thì trong 3 số x - 1, y - 1, z - 1 tồn tại ít nhất 2 số có tích không âm. Không mất tính tổng quát, giả sử $\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0$

$\Rightarrow2xyz\ge2xz+2yz-2z$. Thay vào (1):

$VT\ge x^2+y^2+z^2+2xz+2yz-2z+1$

$=\left(x-y\right)^2+\left(z-1\right)^2+2xy+2xz+2yz$

$\ge2\left(xy+yz+zx\right)$

Vậy (1) đúng. BĐT đã được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c hoặc a = b, c = 0 và các hoán vị.

Check giúp em vs @Nguyễn Việt Lâm, bài dài quá:(

Đúng(0)

T

tthnew

6 tháng 7 2020

Để đưa về chứng minh $(1)$ và $(2)$ ta dùng:

Định lí SOS: Nếu $X+Y+Z=0$ thì $AX^2+BY^2+CZ^2\ge0$

khi $\left\{{}\begin{matrix}A+B+C\ge0\\AB+BC+CA\ge0\end{matrix}\right.$

Chứng minh: Vì $\sum\left(A+C\right)=2\left(A+B+C\right)\ge0$

Nên ta có thể giả sử $A+C\ge0$. Mà $X+Y+Z=0$ nên$:$

$AX^2+BY^2+CZ^2=AX^2+BY^2+C\left[-\left(X+Y\right)\right]^2$

$={\frac { \left( AX+CX+CY \right) ^{2}}{A+C}}+{\frac {{Y}^{2} \left( AB+AC+BC \right) }{A+C}} \geq 0$

Đúng(0)

TN

Trần Nguyễn Khánh Linh

21 tháng 10 2017 - olm

B1:Giải bpt sau:$\left(\sqrt{13}-\sqrt{2x^2-2x+5}-\sqrt{2x^2-4x+4}\right).\left(x^6-x^3+x^2-x+1\right)\ge0$B2:Cho a;b;c>0 thỏa mãn $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.CMR $3\left(a+b+c\right)\ge\sqrt{8a^2+1}+\sqrt{8b^2+1}+\sqrt{8c^2+1}$B3:giải pt nghiệm nguyên sau...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

3

TH

Trần Hữu Ngọc Minh

21 tháng 10 2017

bài 2

ta có $\left(\sqrt{8a^2+1}+\sqrt{8b^2+1}+\sqrt{8c^2+1}\right)^2$

$=\left(\sqrt{a}.\sqrt{\frac{8a^2+1}{a}}+\sqrt{b}.\sqrt{\frac{8b^2+1}{b}}+\sqrt{c}.\sqrt{\frac{8c^2+1}{c}}\right)^2$$=\left(A\right)$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có;

$\left(A\right)\le\left(a+b+c\right)\left(8a+\frac{1}{a}+8b+\frac{1}{b}+8c+\frac{8}{c}\right)$

$=\left(a+b+c\right)\left(9a+9b+9c\right)=9\left(a+b+c\right)^2$

$\Rightarrow3\left(a+b+c\right)\ge\sqrt{8a^2+1}+\sqrt{8b^2+1}+\sqrt{8c^2+1}$(đpcm)

Dấu $=$xảy ra khi $a=b=c=1$

Đúng(0)

VT

vũ tiền châu

21 tháng 10 2017

câu 1 dễ mà liên hợp đi x=$\frac{4}{5}$

Đúng(0)

LT

Lê Tài Bảo Châu

27 tháng 7 2020 - olm

Bài 1:Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng :$\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}+\frac{b^4}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}+\frac{c^4}{\left(c+d\right)\left(c^2+d^2\right)}+\frac{d^4}{\left(d+a\right)\left(d^2+a^2\right)}\ge\frac{a+b+c+d}{4}$Bài 2:Cho $a>0,b>0,c>0$.$CM:\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$Bài 3: a) Cho x,y,>0. CMR:$\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{2x-y}{3}$b) Chứng minh...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

6

KN

Kiệt Nguyễn

1 tháng 8 2020

Xét $\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-b$

Tương tự, ta được: $\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c$; $\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}-\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}=c-a$

Cộng theo vế của 3 đẳng thức trên, ta được: $\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)$$-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\right)=0$

$\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}$$=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}$

Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: $a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)$(*)

Thật vậy: (*)$\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0$*đúng*

$\Rightarrow2LHS=\Sigma_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}$$\ge\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3}\text{}\Sigma_{cyc}\left[\left(a+b\right)\right]=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}$

$\Rightarrow LHS\ge\frac{a+b+c}{3}=RHS$(Q.E.D)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

P/S: Có thể dùng BĐT phụ ở câu 3a để chứng minhxD:

Đúng(0)

PM

Phùng Minh Quân

27 tháng 7 2020

1) ta chứng minh được $\Sigma\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}=\Sigma\frac{b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}$

$VT=\frac{1}{2}\Sigma\frac{a^4+b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{4}\Sigma\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{1}{8}\Sigma\left(a+b\right)=\frac{a+b+c+d}{4}$

bài 2 xem có ghi nhầm ko

Đúng(0)

TK

Trần Khánh Huyền

12 tháng 1 2020

với ∀a,b,c thuộc R, CMR:

$\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\ge2+\frac{2\left(a+b+c\right)}{\sqrt[3]{abc}}$

#Toán lớp 10

1

VH

Võ Hồng Phúc

14 tháng 1 2020

@Akai Haruma

Đúng(0)

NT

Nguyễn Thị Thu Hằng

2 tháng 9 2019

Bài 1 : Cmr :

a, $a+\frac{1}{a-1}\ge3$ với mọi a>1

b, $\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge2$ với mọi a $\in R$

Bài 2 : Cho a>0. Cmr $\frac{a^2+5}{\sqrt{a^2+4}}\ge2$

Bài 3 : Cho a,b,c>0. Cmr $1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}< 2$

#Toán lớp 9

2

TT

Trần Thanh Phương

2 tháng 9 2019

Bài 1:

a) Áp dụng BĐT Cô-si:

$VT=a-1+\frac{1}{a-1}+1\ge2\sqrt{\frac{a-1}{a-1}}+1=2+1=3$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=2$.

b) BĐT $\Leftrightarrow a^2+2\ge2\sqrt{a^2+1}$

$\Leftrightarrow a^2+1-2\sqrt{a^2+1}+1\ge0$

$\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+1}-1\right)^2\ge0$ ( LĐ )

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=0$.

Bài 2: tương tự 1b.

Đúng(0)

TT

Trần Thanh Phương

2 tháng 9 2019

Bài 3:

Do $a,b,c$ dương nên ta có các BĐT:

$\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}$

Tương tự: $\frac{b}{a+b+c}< \frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c};\frac{c}{a+b+c}< \frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}$

Cộng theo vế 3 BĐT:

$\frac{a+b+c}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}$

$\Leftrightarrow1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2$( đpcm )

Đúng(0)

PT

phú tâm

6 tháng 2 2020

cho a,b khác 0
cmr: $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+4\ge0$

#Toán lớp 8

2

DH

Diệu Huyền

6 tháng 2 2020

Ta có: $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+4$

$=\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+2\right)-2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+2$

$=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2-2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+2$

$=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\right)-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\right)$

$=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\right)\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-1\right)$

$=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}.\frac{a^2+b^2-ab}{ab}$

$=\frac{\left(a-b\right)^2\left[\left(a-\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3}{4}b^2\right]}{a^2b^2}\ge0\forall a,b$

$\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+4\ge0\left(đpcm\right)$

Đúng(0)

KH

Kiêm Hùng

6 tháng 2 2020

Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP