Question

[Quỳnh Anh Lưu]

Bài 7: cho đường tròn (O₁, R₁) cắt đương trong (O₂, R₂) tại A và B (O₁; O₂ nằm khác phía với AB). Một cát tuyến PAQ quay quanh A, P thuộc (O₁ ), Q thuộc (O₂) sao cho A nằm giữa P và Q. Hãy xác định vị trí của cát tuyến PAQ trong các trường hợp sau:

a) A là trung điểm của PQ.

b)  PQ có độ dài lớn nhất

c) chu vi tam giác BPQ đạt giá trị lớn nhất.

d) diệt tích tam giác BPQ đạt giát trị lớn nhất.

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

a) Gọi AD,AE lần lượt là đường kính của (O₁);(O₂), M là trung điểm đoạn DE

Đường thẳng vuông góc với AM tại A cắt (O₁);(O₂) lần lượt tại P,Q (khác A)

Khi đó A là trung điểm của PQ. Thật vậy:

Từ AE,AF là đường kính của (O₁);(O₂) suy ra ^ABD = ^ABE = ^APD = ^AQE = 90⁰

=> D,B,E thẳng hàng và DP // EQ. Do đó tứ giác PQED là hình thang vuông

Từ đó AM // PD // QE. Mà M là trung điểm DE nên A là trung điểm PQ.

b) Từ câu a dễ nhận ra độ dài DE không đổi. Hạ EH vuông góc với DP tại H

Khi đó PQ = EH < DE = const. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi cắt tuyến PAQ // DE.

c) Ta có BP là một dây của đường tròn (O₁) => BP < 2R₁. Tương tự BP < 2R₂

Suy ra C_BPQ = BP + BQ + PQ < DE + 2R₁ + 2R₂ = C_DAE = const

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi cát tuyến PAQ // DE.

d) Hạ PK,QL thứ tự vuông góc với đường thẳng AB. Ta có:

2S_BPQ = AB(PK + QL) < AB.PQ < AB.DE = 2S_DAE = const => S_BPQ < S_DAE

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi cát tuyến PAQ // DE.