Chứng minh: \(\frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+1}}\)\(\ge\)2. Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của P = \(\frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+1}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 7 2017
ĐK \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne9\end{cases}}\)
a, \(R=\frac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)-3\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}:\frac{2\sqrt{x}-2-\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}\)
\(=\frac{3x-6\sqrt{x}-9}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}.\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}=\frac{3\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}.\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\frac{3\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}+3}\)
b. \(R< -1\Rightarrow R+1< 0\Rightarrow\frac{3\sqrt{x}-9+\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}< 0\Rightarrow\frac{4\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}+3}< 0\)
\(\Rightarrow0\le x< \frac{9}{4}\)
c. \(R=\frac{3\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}+3}=3+\frac{-18}{\sqrt{x}+3}\)
Ta thấy \(\sqrt{x}+3\ge3\Rightarrow\frac{-18}{\sqrt{x}+3}\ge-6\Rightarrow3+\frac{-18}{\sqrt{x}+3}\ge-3\Rightarrow R\ge-3\)
Vậy \(MinR=-3\Leftrightarrow x=0\)
11 tháng 4 2020
a/ \(P=\frac{2}{\sqrt{x}-2}:\left(\frac{\sqrt{x}}{x-4}+\frac{1}{\sqrt{x}-2}\right)\left(ĐKXĐ:x\ge0,x\ne4\right)\)
\(\Leftrightarrow P=\frac{2}{\sqrt{x}-2}:\left(\frac{\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\frac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\right)\)
\(\Leftrightarrow P=\frac{2}{\sqrt{x}-2}.\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{2\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}\)
b/ \(P=\frac{\sqrt{x}+1+1}{\sqrt{x}+1}=1+\frac{1}{\sqrt{x}+1}\)
$P$ đạt giá trị lớn nhất \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+1\right)\) đạt GTNN
Vì \(\sqrt{x}\ge0\Leftrightarrow\sqrt{x}+1\ge1\) đạt giá trị nhỏ nhất là $1$ tại \(x=0\)
Vậy \(MaxP=2\Leftrightarrow x=0\)
KL: ...................
11 tháng 4 2020
a/ \(P=\frac{2}{\sqrt{x}-2}:\left(\frac{\sqrt{x}}{x-4}+\frac{1}{\sqrt{x}-2}\right)\left(ĐKXĐ:x\ge0,x\ne4\right)\)
\(\Leftrightarrow P=\frac{2}{\sqrt{x}-2}:\left(\frac{\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\frac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\right)\)
\(\Leftrightarrow P=\frac{2}{\sqrt{x}-2}.\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{2\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}\)
b/ \(P=\frac{\sqrt{x}+1+1}{\sqrt{x}+1}=1+\frac{1}{\sqrt{x}+1}\)
$P$ đạt giá trị lớn nhất \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+1\right)\) đạt GTNN
Vì \(\sqrt{x}\ge0\Leftrightarrow\sqrt{x}+1\ge1\) đạt giá trị nhỏ nhất là $1$ tại \(x=0\)
Vậy \(MaxP=2\Leftrightarrow x=0\)
KL: ...................
Áp dụng bđt Cô-si có
\(\left(x^2+1\right)+1\ge2\sqrt{\left(x^2+1\right).1}=2\sqrt{x^2+1}\)
\(\Rightarrow x^2+2\ge2\sqrt{x^2+1}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+1}}\ge2\)
\(\Rightarrow P_{min}=2\)
Dấu "=" tại x = 0