Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn: 2(a + b + c) + ab + bc + ca = 18
Tìm Min của :
P = \(\sqrt{25+a^4}+\sqrt{25+b^4}+\sqrt{25+c^4}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
28 tháng 3 2019
Cosi + Svac-xơ
Có : \(3=a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c\le3\)
\(\frac{1}{4-\sqrt{ab}}+\frac{1}{4-\sqrt{bc}}+\frac{1}{4-\sqrt{ca}}\le\frac{1}{4-\frac{a+b}{2}}+\frac{1}{4-\frac{b+c}{2}}+\frac{1}{4-\frac{c+a}{2}}\)
\(=-\left(\frac{1}{\frac{a+b}{2}-4}+\frac{1}{\frac{b+c}{2}-4}+\frac{1}{\frac{c+a}{2}-4}\right)\le\frac{-\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c-12}=\frac{-9}{3-12}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 2 2021
Đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=1\)
BĐT trở thành: \(\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2+2z^2}}+\dfrac{yz}{\sqrt{y^2+z^2+2x^2}}+\dfrac{zx}{\sqrt{x^2+z^2+2y^2}}\le\dfrac{1}{2}\)
Ta có:
\(x^2+z^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{2}\left(x+z\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(y+z\right)^2\ge\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2+2z^2}}\le\dfrac{xy}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{xy}{x+z}+\dfrac{xy}{y+z}\right)\)
Tương tự: \(\dfrac{yz}{\sqrt{y^2+z^2+2x^2}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{yz}{x+y}+\dfrac{yz}{x+z}\right)\)
\(\dfrac{zx}{\sqrt{z^2+x^2+2y^2}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{zx}{x+y}+\dfrac{zx}{y+z}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(VT\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{zx+yz}{x+y}+\dfrac{xy+zx}{y+z}+\dfrac{yz+xy}{z+x}\right)=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)=\dfrac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\) hay \(a=b=c\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 6 2021
\(\sqrt{\dfrac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\dfrac{ab}{c\left(a+b+c\right)+ab}}=\sqrt{\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}\right)\)
Tương tự: \(\sqrt{\dfrac{bc}{a+bc}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+c}\right)\) ; \(\sqrt{\dfrac{ca}{b+ca}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{a}{a+b}\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
1 tháng 9 2021
Cho a, b, c, d là các chữ số thỏa mãn: ab+ca=da ab-ca=a Tìm giá trị của d.
Ta có bất đẳng thức phụ sau (bđt Mincopski)
\(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{z^2+t^2}\ge\sqrt{\left(x+z\right)^2+\left(y+t\right)^2}\left(x;y;z;t\inℝ\right)\)
Thật vậy :
\(bđt\Leftrightarrow x^2+y^2+2\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(z^2+t^2\right)}+z^2+t^2\ge x^2+2xz+z^2+y^2+2yt+t^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2z^2+x^2t^2+y^2z^2+y^2t^2}\ge xz+yt\)
*Nếu xz + yt < 0 thì bđt hiển nhiên đúng
*Nếu xz + yt > 0 thì bđt trở thành
\(x^2z^2+x^2t^2+y^2z^2+y^2t^2\ge x^2z^2+2xyzt+y^2t^2\)
\(\Leftrightarrow x^2t^2-2xyzt+y^2z^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(xt-yz\right)^2\ge0\)(ĐÚng)
Vậy bđt được chứng minh
Áp dụng bđt trên 2 lần ta được
\(P\ge\sqrt{\left(5+5\right)^2+\left(a^2+b^2\right)^2}+\sqrt{25+c^4}\)
\(\ge\sqrt{\left(5+5+5\right)^2+\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)
\(=\sqrt{225+\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)
Bài toán quay về tìm \(min\left(a^2+b^2+c^2\right)\)biết \(2\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca=18\)
Ta có bđt phụ sau \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)(Tự chứng minh bằng biến đổi tương đương nhé)
\(\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
Đặt \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)=t\left(t\ge0\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{3t}\)
Lại có bđt phụ sau \(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2=\frac{t}{3}\)
Tóm lại ta thu được 2 bđt sau \(\hept{\begin{cases}a+b+c\le\sqrt{3t}\\ab+bc+ca\le\frac{t}{3}\end{cases}}\)
Ta có \(18=2\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca\le2\sqrt{3t}+\frac{t}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{t}{3}+2\sqrt{3t}-18\ge0\)
\(\Leftrightarrow t+6\sqrt{3t}-54\ge0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{t}\le-9-3\sqrt{3}\left(Loa_.i\cdot do\cdot\sqrt{t}\ge0\right)\\\sqrt{t}\ge9-3\sqrt{3}\left(Tm\right)\end{cases}}\)
Có \(\sqrt{t}\ge9-3\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge9-3\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge108-54\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge36-18\sqrt{3}\)
Quay trở lại bài toán \(P\ge\sqrt{225+\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\ge\sqrt{225+\left(36-18\sqrt{3}\right)^2}\)
Dấu "=" xảy ra tại a = b = c
P/S: sai đâu thì thôi nha :v a lười ktra lại lắm