CMR: nếu \(x_1;x_2\)là hai nghiệm khác nhau của đa thức P(x)=ax^2+bx+c(a khác 0) thì P(x)=a(x-\(x_1\))(x-\(x_2\)).
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
T
23 tháng 6 2019
#)Giải :
Từ giả thiết ta suy ra được các tích x1.x2+x2.x3+...+xn.x1 chỉ nhận 1 trong 2 giá trị là 1 và (-1)
Mà x1.x2+x2.x3+...+xn.x1 = 0 => n = 2m
Đồng thời có m số hạng = 1, m số hạng = -1
Ta nhận thấy (x1x2)+(x2x3)...(xnx1) = x21.x22.....x2n = 1
=> Số các số hạng = -1 phải là số chẵn => m = 2k
=> n = 4k => n chia hết cho 4
22 tháng 7 2020
Với n=2
=> \(x_1+\frac{1}{x_1}=x_2+\frac{1}{x_2}\)
\(\Rightarrow x_1-x_2=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}\)
\(\Rightarrow\left(x_1-x_2\right)-\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}=0\)
\(\Rightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(1-\frac{1}{x_1x_2}\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x_1-x_2=0\\1-\frac{1}{x_1x_2}=0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x_1=x_2\\x_1x_2=1\end{cases}}}\)
*) n=k
=> \(x_1+\frac{1}{x_1}=x_2+\frac{1}{x_2}=...=x_k+\frac{1}{x_k}\)
thì \(x_1=x_2=x_3=...=x_k\)hoặc \(\left|x_1x_2...x_k\right|=0\)
Với n=k+1
=> \(x_1+\frac{1}{x_1}=x_2+\frac{1}{x_2}=x_3+\frac{1}{x_3}=...x_{k+1}+\frac{1}{x_1}\)
=> \(x_1+\frac{1}{x_2}=x_2+\frac{1}{x_3}=....=x_k+\frac{1}{x_{k+1}}=x_{k+1}+\frac{1}{x_1}\)
\(\Rightarrow x_{k-1}+\frac{1}{x_k}=x_k+\frac{1}{x_1}=x_{k+1}+\frac{1}{x_1}\)
\(\Rightarrow x_k-x_{k+1}=0\)
\(\Rightarrow x_k=x_{k+1}\)
\(\Rightarrow x_1=x_2=...=x_k=x_{k+1}\)
NH
12 tháng 3
Nhận xét rằng với mọi số nguyên \(x\), định lý Fermat nhỏ cho ta: \(x^{2017}\equiv x\) (mod \(2017\))
nên với mỗi nghiệm \(x_i\) ta có: \(x_i^{2017}+ax_i^2+bx_i+c\equiv ax_i^2+\left(b+1\right)x_i+c\) (mod \(2017\))
\(\Rightarrow ax_i^2+\left(b+1\right)x_i+c\equiv0\) (mod \(2017\))
Xét \(x_1\) có: \(ax_1^2+\left(b+1\right)x_1+c\equiv0\) (mod \(2017\)) (1)
Xét \(x_2\) có: \(ax_2^2+\left(b+1\right)x_2+c\equiv0\) (mod \(2017\)) (2)
Từ (1), (2) \(\Rightarrow a\left(x_1^2-x_2^2\right)+\left(b+1\right)\left(x_1-x_2\right)⋮2017\)
\(\Rightarrow a\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)+\left(b+1\right)\left(x_1-x_2\right)⋮2017\)
\(\Rightarrow\left(x_1-x_2\right)\left[a\left(x_1+x_2\right)+\left(b+1\right)\right]⋮2017\)
Mà \(\left(x_1-x_2\right)\left(x_2-x_3\right)\left(x_3-x_1\right)⋮̸2017\), \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2⋮̸2017\\x_2-x_3⋮̸2017\\x_1-x_3⋮̸2017\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a\left(x_1+x_2\right)+\left(b+1\right)⋮2017\) (3) (do \(2017\) là số nguyên tố)
Tương tự với \(x_1\) và \(x_3\): \(\Rightarrow a\left(x_1+x_3\right)+\left(b+1\right)⋮2017\) (4)
Từ (3), (4) \(\Rightarrow a\left(x_2-x_3\right)⋮2017\)
Mà \(x_2-x_3⋮̸2017\Rightarrow a⋮2017\) (do \(2017\) là số nguyên tố) (5)
Từ (3), (5) \(\Rightarrow b+1⋮2017\) (6)
Từ (1), (5), (6) \(\Rightarrow c⋮2017\) (7)
Từ (5), (6), (7) \(\Rightarrow a+b+c+1⋮2017\) (đpcm)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 7 2018
Lời giải:
Nếu $x_1,x_2$ là nghiệm của pt trên thì theo định lý Viete ta có:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{2(m-1)}{m}\\ x_1x_2=\frac{m}{m}=1\end{matrix}\right.\)
Nếu \(x_1^2+x_2^2=2\)
\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-2x_1x_2=2\)
\(\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=2\Leftrightarrow \frac{4(m-1)^2}{m^2}-2=2\)
\(\Leftrightarrow \frac{4(m-1)^2}{m^2}=4\Rightarrow 4(m-1)^2=4m^2(*)\)
Khi đó:
\(\Delta=4(m-1)^2-4m^2=0\) theo $(*)$
Do đó pt đã cho có nghiệm kép.
11 tháng 9 2019
Lời giải sẽ dài lắm nhé
x1,x2 là hai nghiệm của \(P(x)\)nên :
\(P(x_1)=ax_1^2+bx_1+c=0\) \((1)\)
\(P(x_2)=ax^2_2+bx^2+c=0\)
\(P(x_1)-P(x_2)=a\left[x^2_1-x^2_2\right]+b\left[x_1-x_2\right]=0\)
\(a\left[x_1+x_2\right]\left[x_1-x_2\right]+b\left[x_1-x_2\right]=0\)
\(\left[x_1-x_2\right]\left[a\left\{x_1+x_2\right\}+b\right]=0\)
Vì x1 \(\ne\)x2 nên x1 - x2 \(\ne\)0 do đó
\(a\left[x_1+x_2\right]+b=0\Rightarrow b=-a\left[x_1+x_2\right]\) \((2)\)
Thế 2 vào 1 ta được :
\(ax^2_1-a\left[x_1+x_2\right]\cdot x_1+c=0\)
\(\Rightarrow c=ax_1\left[x_1+x_2\right]-ax^2_1=ax_1x_2\) \((3)\)
Thế 2 vào 3 vào P\((x)\)ta được :
\(P(x)=ax^2+bx+c=ax^2-ax\left[x_1+x_2\right]+ax_1x_2\)
\(=ax^2-axx_1-axx_2+ax_1x_2=a\left[x^2-xx_1-xx_2+x_1x_2\right]\)
\(=a\left[x\left\{x-x_1\right\}-x_2\left\{x-x_1\right\}\right]=a\left[x-x_1\right]\left[x-x_2\right]\)
Vậy : ....
24 tháng 12 2018
Bài 1:
nếu x1<x2=>2018.x1-3<2018.x2
=>f(x1)<f(x2)
Bài 2:
nếu x dương=>100x2+2 dương
nếu x âm=>100x2+2 dương vì x2 luôn dương
=>f(x)=f(-x)
Bài 3:
nếu x1<x2=>-2019x1+1<2019x2+1
=>f(x1)<f(x2)
x1,x2 là hai nghiệm của P(x) nên:
\(P\left[x_1\right]=ax^2_1+bx_1+c=0(1)\)
\(P\left[x_2\right]=ax^2_2+bx_2+c=0\)
\(P\left[x_1\right]-P\left[x_2\right]=a\left[x^2_1-x^2_2\right]+b\left[x_1-x_2\right]=0\)
\(a\left[x_1+x_2\right]\left[x_1-x_2\right]+b\left[x_1-x_2\right]=0\)
\(\left[x_1-x_2\right]\left[a\left\{x_1+x_2\right\}+b\right]=0\)
Vì x1 \(\ne\)x2 nên x1 - x2 \(\ne0\), do đó :
\(a\left[x_1+x_2\right]+b=0\Leftrightarrow b=-a\left[x_1+x_2\right](2)\)
Thế 2 vào 1 ta được :
\(ax^2_1-a\left[x_1+x_2\right]\cdot x_1+c=0\Rightarrow c=ax_1\left[x_1+x_2\right]-ax^2_1=ax_1x_2(3)\)
Thế 2 và 3 vào P(x) ta được :
P(x) = \(ax^2+bx+c=ax^2-ax\left[x_1+x_2\right]+ax_1x_2\)
= \(ax^2-axx_1-axx_2+ax_1x_2=a\left[x_2-xx_1-xx_2+x_1x_2\right]\)
= \(a\left[x\left\{x-x_1\right\}-x_2\left\{x-x_1\right\}\right]=a\left[x-x_1\right]\left[x-x_2\right]\)
Vậy P(x) = \(a\left[x-x_1\right]\left[x-x_2\right]\).
\(x_1,x_2\)là hai nghiệm của P(x) nên:
\(P\left(x_1\right)=ax^2_1+bx_1+c=0\)(1)
\(\left(x_2\right)=ax^2_2+bx_2+c=0\)
\(P\left(x_1\right)-P\left(x_2\right)=a\left(x_1^2-x^2_2\right)+b\left(_1^2-x^2_2\right)=0\)
\(a\left(x_1^2+x^2_2\right)\left(x_1^2-x^2_2\right)+b\left(x_1^2-x^2_2\right)=0\)
\(\left(x_1^2-x^2_2\right)\left[a\left(x_1^2+x^2_2\right)+b\right]=0.\)
Vì \(x_1\ne x_2\)nên \(x_1^2-x^2_2=0\)do đó:
\(a\left(x_1^2+x^2_2\right)+b=0\Rightarrow b=-a\left(x_1^2+x^2_2\right)\)(2)
Thế (2) vào (1) ta được:
\(ax^2_1-a\left(x_1^2+x^2_2\right)x_1+c=0\Rightarrow c=ax_1\left(x_1+x_2\right)-ax^2_1=ax_1x_2\)(3)
Thế (2) và (3) vào P(x) ta được:
\(P\left(x\right)=ax^2+bx+c=ax^2-ax\left(x_1+x_2\right)+ax_1x_2\)
\(=ax^2-axx_1-axx_2+ax_1x_2=a\left(x^2-xx_1-xx_2+x_1x_2\right)\)
\(=a\left[x\left(x-x_1\right)-x_2\left(x-x_1\right)\right]=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right).\)
Vậy \(P\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right).\)