cho x>0,y>0 và x+y=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của A=\(\frac{1}{x^3+xy+y^3}+\frac{4x^2y^2+2}{xy}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 9 2019
\(A=\frac{1}{x^2+xy+y^2}+\frac{\frac{1}{9}}{xy}+4xy+\frac{1}{4xy}+\frac{23}{36xy}\)
\(A\ge\frac{\left(1+\frac{1}{3}\right)^2}{x^2+2xy+y^2}+2\sqrt{\frac{4xy}{4xy}}+\frac{23}{9\left(x+y\right)^2}\)
\(A\ge\frac{16}{9\left(x+y\right)^2}+2+\frac{23}{9\left(x+y\right)^2}=\frac{19}{3}\)
\(A_{min}=\frac{19}{3}\) khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
16 tháng 3 2021
\(Q=\frac{x^3}{4\left(y+2\right)}+\frac{y^3}{4\left(x+2\right)}=\frac{x^3\left(x+2\right)}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}+\frac{y^3\left(y+2\right)}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}\)
\(=\frac{x^4+y^4+2x^3+2y^3}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}=\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{4\left(xy+2x+2y+4\right)}\)
\(=\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{4\left(2x+2y+8\right)}=\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{8\left(x+y+4\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(x^4+y^4\ge2\sqrt{x^4y^4}=2x^2y^2\)
\(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\)
\(Q=\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{8\left(x+y+4\right)}\ge\frac{2x^2y^2+2xy\left(x+y\right)}{8\left(x+y+4\right)}=\frac{2xy\left(xy+x+y\right)}{8\left(x+y+4\right)}=\frac{8\left(x+y+4\right)}{8\left(x+y+4\right)}=1\)
Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x,y>0\\x=y\\xy=4\end{cases}}\Rightarrow x=y=2\)
Vậy GTNN của Q là 1 <=> x = y = 2
KN
17 tháng 3 2021
Or
\(Q-1=\frac{\left(x^2-y^2\right)^2+2\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-8\right)}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}\ge0\)*đúng do \(x^2+y^2\ge2xy=8\)*
Do đó \(Q\ge1\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 2
VT
10 tháng 1 2018
Áp dụng BĐT svacxơ, ta có
\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)
Dấu = xảy ra <=>x=y=1/2
^_^
LV
31 tháng 5 2017
ta có: \(\frac{\sqrt{2x^2+y^2}}{xy}=\sqrt{\frac{2}{y^2}+\frac{1}{x^2}}\)
Áp dụng BĐT bunyakovsky:\(\left(2+1\right)\left(\frac{2}{y^2}+\frac{1}{x^2}\right)\ge\left(\frac{2}{y}+\frac{1}{x}\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{2}{y^2}+\frac{1}{x^2}\ge\frac{1}{3}\left(\frac{2}{y}+\frac{1}{x}\right)^2\).....bla bla
\(A=\frac{1}{x^3+y^3+xy}+\frac{4x^2y^2+2}{xy}=\frac{1}{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+xy}+4xy+\frac{2}{xy}\)
\(=\frac{1}{x^2+y^2}+4xy+\frac{2}{xy}\)
\(=\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\left(\frac{7}{4xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\)
\(=\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)+\frac{5}{4xy}\)
\(\ge2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}+\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}=5+4+2=11\)
Dấu "=" khi x=y=1/2