Cho \(36x^2+16y^2=9\)
Chứng minh : \(\left|y-2x\right|\le\frac{5}{4}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
XO
27 tháng 12 2021
a) ĐKXĐ : \(3\le x\le7\)
Ta có \(A=1.\sqrt{x-3}+1.\sqrt{7-x}\)
\(\le\sqrt{\left(1+1\right)\left(x-3+7-x\right)}=\sqrt{8}\)(BĐT Bunyacovski)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\dfrac{1}{\sqrt{x-3}}=\dfrac{1}{\sqrt{7-x}}\Leftrightarrow x=5\)
S
16 tháng 6 2019
\(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=\frac{4}{2x}+\frac{1}{y}=\frac{2^2}{2x}+\frac{1^2}{y}\ge\frac{\left(2+1\right)^2}{2x+y}=\frac{9}{2x+y}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y}\le\frac{1}{9}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
dấu "=" xảy ra khi: x=y
16 tháng 6 2019
Ta đi chứng minh bất đẳng thức sau :
\(\frac{a^2}{m}+\frac{b^2}{n}+\frac{c^2}{p}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{m+n+p}\left(m;n;p>0\right)\)
Thật vậy : Áp dụng bđt Bunhiacopxki có
\(\left(\frac{a^2}{m}+\frac{b^2}{n}+\frac{c^2}{p}\right)\left(m+n+p\right)\ge\left(\frac{a}{\sqrt{m}}.\sqrt{m}+\frac{b}{\sqrt{n}}.\sqrt{n}+\frac{c}{\sqrt{p}}.\sqrt{p}\right)^2\)
\(=\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{m}+\frac{b^2}{n}+\frac{c^2}{p}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{m+n+p}\)
Áp dụng ta được
\(\frac{1}{2x+y}=\frac{1}{9}.\frac{9}{x+x+y}=\frac{1}{9}.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+x+y}\le\frac{1}{9}.\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{9}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Dấu "='' xảy ra <<=> x = y
11 tháng 11 2016
Từ bđt Cauchy : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\) ta suy ra được \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
Áp dụng vào bài toán của bạn :
a/ \(y=\left(x+3\right)\left(5-x\right)\le\frac{\left(x+3+5-x\right)^2}{4}=...............\)
b/ Tương tự
c/ \(y=\left(x+3\right)\left(5-2x\right)=\frac{1}{2}.\left(2x+6\right)\left(5-2x\right)\le\frac{1}{2}.\frac{\left(2x+6+5-2x\right)^2}{4}=.............\)
d/ Tương tự
e/ \(y=\left(6x+3\right)\left(5-2x\right)=3\left(2x+1\right)\left(5-2x\right)\le3.\frac{\left(2x+1+5-2x\right)^2}{4}=.......\)
f/ Xét \(\frac{1}{y}=\frac{x^2+2}{x}=x+\frac{2}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{2}{x}}=2\sqrt{2}\)
Suy ra \(y\le\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
..........................
g/ Đặt \(t=x^2\) , \(t>0\) (Vì nếu t = 0 thì y = 0)
\(\frac{1}{y}=\frac{t^3+6t^2+12t+8}{t}=t^2+6t+\frac{8}{t}+12\)
\(=t^2+6t+\frac{8}{3t}+\frac{8}{3t}+\frac{8}{3t}+12\)
\(\ge5.\sqrt[5]{t^2.6t.\left(\frac{8}{3t}\right)^3}+12=.................\)
Từ đó đảo ngược y lại rồi đổi dấu \(\ge\) thành \(\le\)
JE
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 3 2019
\(36x^2+16y^2=9\)
Ta có:
\(\left(y-2x\right)^2\le\left(\left(\frac{1}{4}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2\right)\left(\left(4y\right)^2+\left(-6x\right)^2\right)\)
\(\Rightarrow\left(y-2x\right)^2\le\frac{25}{144}.9=\frac{25}{16}\)
\(\Rightarrow\frac{-5}{4}\le y-2x\le\frac{5}{4}\Rightarrow\frac{15}{4}\le y-2x+5\le\frac{25}{4}\)
6 tháng 11 2018
\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\) ( bđt phụ + Cauchy-Schwarz dạng Engel )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
CM bđt phụ : \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)
\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z\)
Chúc bạn học tốt ~
11 tháng 1 2015
Bai 1: Ap dung BDT Bunhiacopxki ta co:
\(ax+by+cz+2\sqrt {(ab+ac+bc)(xy+yz+xz)} \)
\(≤ \sqrt {(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)} + \sqrt {(ab+ac+bc)(xy+yz+zx)}+\sqrt {(ab+ac+bc)(xy+yz+zx)}\)
\(≤ \sqrt {(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc)(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx)}\)
\(= (a+b+c)(x+y+z)\)
=> \(Q.E.D\)
11 tháng 1 2015
Tiep bai 4:Ta co:
BDT <=> \((2+y^2z)(2+z^2x)(2+x^2y)≥(2+x)(2+y)(2+z)\)
Sau khi khai trien con: \(2(z^2x+y^2z+x^2y)+x^2z+z^2y+y^2x≥xy+yz+zx+2x+2y+2z \)
Ap dung BDT Cosi ta co:
\(z^2x+x ≥ 2zx \) <=> \(z^2x≥2zx-x\)
Lam tuong tu ta co: \(2(z^2x+y^2z+x^2y)≥4xy+4yz+4zx-2x-2y-2z \)(1)
\(x^2z+{1\over z}≥2x \) <=> \(x^2z≥2x-xy \) (do xyz=1)
Lam tuong tu ta co: \(x^2z+z^2y+y^2x≥ 2y+2z+2x-xy-yz-zx\)(2)
Cong (1) voi (2) ta co: VT\(≥ 3(xy+yz+zx)\)(*)
Voi cach lam tuong tu ta cung duoc: VT\(≥ 3(x+y+z) \)(**)
Tu (*) va (**) suy ra : \(3 \)VT \(≥ 6(x+y+z)+3(xy+yz+zx) \)
<=> VT \(≥ 2(x+y+z)+xy+yz+zx\)
=> \(Q.E.D\)