Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên hai cạnh AB, AD lần lượt lấy điểm M và N sao cho chu vi tam giác AMN là 2a. Tìm vị trí của M, N để diện tích tam giác AMN lớn nhất
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 4 2023
Đặt AM=x; AN=y
MN^2=AM^2+AN^2
=>\(MN=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(P_{AMN}=AM+AN+MN=x+y+\sqrt{x^2+y^2}=2a\)
và x+y>=2*căn xy; \(\sqrt{x^2+y^2}>=\sqrt{2xy}\)
=>\(2a=x+y+\sqrt{x^2+y^2}>=2\sqrt{xy}+\sqrt{2xy}\)
=>\(2a>=\sqrt{xy}\left(2+\sqrt{2}\right)\)
=>\(\sqrt{xy}< =\dfrac{2a}{2+\sqrt{2}}\)
=>\(S_{AMN}=\dfrac{1}{2}xy< =\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{2a}{2+\sqrt{2}}\right)^2=\left(3-2\sqrt{2}\right)a^2\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\left(2-\sqrt{2}\right)a\)
25 tháng 6 2019
G/s: Tam giác đều ABC có cạnh bằng a
Đặt AM=x, AN =y, x, y dương và bé hơn a
=> MB=a-x, NC=a-y
Theo bài ra ta có:
\(\frac{x}{a-x}+\frac{y}{a-y}=1\)
\(\Leftrightarrow-\frac{x}{a-x}-\frac{y}{a-y}=-1\)
\(\Leftrightarrow1-\frac{a}{a-x}+1-\frac{a}{a-y}=-1\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{a-x}+\frac{a}{a-y}=3\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{a}=\frac{1}{a-x}+\frac{1}{a-y}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a-x+a-y}=\frac{4}{2a-\left(x+y\right)}\)
\(\Leftrightarrow x+y\le\frac{2a}{3}\)
Diện tích tam giác AMN:
\(S_{\Delta AMN}=\frac{1}{2}AM.AN.\sin\widehat{MAN}=\frac{1}{2}.xy.\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{4}.xy\le\frac{\sqrt{3}}{4}\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\le\frac{\sqrt{3}}{16}\frac{4a^2}{9}=\frac{\sqrt{3}a^2}{36}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(x=y=\frac{a}{3}\)
Vậy AM=1/3AB, AN=1/3AC thì diện tích tam giác AMN lớn nhất bằng \(\frac{\sqrt{3}a^2}{36}\)