Question

[senorita]

Cho (O;r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại M,N,P Gọi P=\(\frac{1}{2}\)chu vi tam giác ABC. Biết \(\frac{AP^4}{BP^3}+\frac{BM^4}{CM^3}+\frac{CN^4}{AN^3}=P\) Tính các góc của tam giác ABC 

giúp với mình cần gấp lắm T.T

Answer 1

[Trần Phúc Khang]

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 4 số ta có

\(\frac{AP^4}{BP^3}+BP+BP+BP\ge4AP\)

Mà \(AP=\frac{b+c-a}{2},BP=\frac{a+c-b}{2}\)

=> \(\frac{AP^4}{BP^3}\ge\frac{7b-7a+c}{2}\)

CMTT \(\frac{BM^4}{CM^3}\ge\frac{7c-7b+a}{2}\)

\(\frac{CN^4}{AN^3}\ge\frac{7a-7c+b}{2}\)

Khi đó 

\(VT\ge\frac{a+b+c}{2}=P\)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

=> tam giác ABC đều

A=B=C=60