cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b<_c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(P=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 3 2022
Ta có:
\(\dfrac{1}{a+3b}+\dfrac{1}{c+3}\ge\dfrac{4}{a+3b+c+3}=\dfrac{4}{2b+6}=\dfrac{2}{b+3}\)
Tương tự:
\(\dfrac{1}{b+3c}+\dfrac{1}{a+3}\ge\dfrac{2}{c+3}\)
\(\dfrac{1}{c+3a}+\dfrac{1}{b+3}\ge\dfrac{2}{a+3}\)
Cộng vế:
\(\sum\dfrac{1}{a+3b}+\sum\dfrac{1}{a+3}\ge\sum\dfrac{2}{a+3}\)
\(\Rightarrow\sum\dfrac{1}{a+3b}\ge\sum\dfrac{1}{a+3}\) (đpcm)
17 tháng 7 2021
\(\)\(=>a^5+b^5+c^5-3\ge0\)
\(< =>a^5+b^5+c^5-\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge0\)
\(>=>a^2.a^3-a^3+b^2.b^3-b^3+c^2.c^3-c^3\ge0\)
\(< =>a^2\left(a^3-1\right)+b^2\left(b^3-1\right)+c^2\left(c^3-1\right)\ge0\)(luôn đúng)
vì \(a^2\left(a^3-1\right)\ge0;b^2\left(b^3-1\right)\ge0;c^2\left(c^3-1\right)\ge0\)
Vậy \(Vt\ge3\)(đpcm)
\(\)
\(\)
17 tháng 3 2021
Đề bài bị nhầm phải ko bạn.
Ta đặt P=\(\dfrac{b^3}{a}+\dfrac{a^3}{c}+\dfrac{c^3}{b}\) .Ta cần chứng minh P\(\ge3\)\(\dfrac{b^3}{a}+ab\ge2b^2;\dfrac{a^3}{c}+ac\ge2a^2;\dfrac{c^3}{b}+bc\ge2c^2\Rightarrow\dfrac{b^3}{a}+\dfrac{a^3}{c}+\dfrac{c^3}{b}\ge2a^2+2b^2+2c^2-ab-ca-bc\ge ab+bc+ca\Rightarrow2\cdot P\ge2ab+2bc+2ca\left(1\right)\) \(\dfrac{b^3}{a}+a+1\ge3b;\dfrac{a^3}{c}+c+1\ge3a;\dfrac{c^3}{b}+b+1\ge3c\Rightarrow\dfrac{b^3}{a}+\dfrac{a^3}{c}+\dfrac{c^3}{b}\ge3a+3b+3c-3-a-b-c=2a+2b+2c-3\left(2\right)\) Cộng từng vế của 2 bđt (1) và (2) ta được:
\(\Rightarrow3\cdot\left(\dfrac{b^3}{a}+\dfrac{a^3}{c}+\dfrac{c^3}{b}\right)\ge2\left(a+b+c+ab+bc+ca\right)-3=12-3=9\Rightarrow3P\ge9\Rightarrow P\ge3\) Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
HQ
15 tháng 2 2021
Bổ đề: \(a^3+b^3+c^3\ge\dfrac{1}{9}\left(a+b+c\right)^3\) \(\left(\forall a,b,c>0\right)\)
chứng minh bổ đề: \(\Sigma_{cyc}\left(\dfrac{a^3}{a^3+b^3+c^3}\right)+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\ge3\sqrt[3]{\left(\Pi_{cyc}\dfrac{a^3}{a^3+b^3+c^3}\right).\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}}\)
hoán vị theo a,b,c
ta được: \(3\ge\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{\sqrt[3]{9.\left(a^3+b^3+c^3\right)}}\)
mũ 3 hai vế ta có được bất đẳng thức bổ đề: \(a^3+b^3+c^3\ge\dfrac{1}{9}\left(a+b+c\right)^3\)
Áp dụng bất C-S:
\(\sqrt{a^3+3b}+\sqrt{b^3+3c}+\sqrt{c^3+3a}\ge\sqrt{\left(1+1+1\right)\left(a^3+b^3+c^3+3a+3b+3c\right)}\)
\(\ge\sqrt{3.\left[3+3\left(a+b+c\right)\right]}=\sqrt{36}=6\)
Dấu "=" xảy ra tại a=b=c=1
8 tháng 1 2022
Từ a+b+c=0 => b+c=-a
Theo đề ra ta có a3 + b3 + c3 = 0
=> a3 + (b+c)(b2 - bc + c2 )=0
<=> a3- a[(b + c )2 -3bc]= 0
<=> a3- [( -a )2 - 3bc] = 0
<=> a3 - a3 +3bc = 0
<=> 3bc= 0
<=> a =0 hoặc b=0 hoặc c=0 ( đpcm)
cho mik điểm nha bạn ơiii
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 9 2021
\(\dfrac{a}{a+2b^3}=a-\dfrac{2ab^3}{a+b^3+b^3}\ge a-\dfrac{2ab^3}{3\sqrt[3]{ab^6}}=a-\dfrac{2}{3}.b\sqrt[3]{a^2}\ge a-\dfrac{2}{9}b\left(a+a+1\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{a+2b^3}\ge a-\dfrac{2}{9}\left(2ab+b\right)\)
Tương tự: \(\dfrac{b}{b+2c^3}\ge b-\dfrac{2}{9}\left(2bc+c\right)\) ; \(\dfrac{c}{c+2a^3}\ge c-\dfrac{2}{9}\left(2ac+a\right)\)
Cộng vế:
\(A\ge a+b+c-\dfrac{2}{9}\left(2ab+2bc+2ca+a+b+c\right)=3-\dfrac{2}{9}\left[2\left(ab+bc+ca\right)+3\right]\)
\(A\ge3-\dfrac{2}{9}\left[\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)^2+3\right]=1\)
L
7 tháng 9 2023
Trước tiên ta đi chứng minh BĐT phụ là:
Với thì
Cách CM:
BĐT trên tương đương với: (luôn đúng)
Quay trở về bài toán chính: Áp dụng BĐT phụ trên :
Thực hiện tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:
(đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
\(2\sqrt{ab}\le a+b\le c\Rightarrow c^2\ge4ab\Rightarrow\frac{c^2}{ab}\ge4\)
\(P=1+\left(\frac{a}{b}\right)^2+\left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{a}\right)^2+1+\left(\frac{b}{c}\right)^2+\left(\frac{c}{a}\right)^2+\left(\frac{c}{b}\right)^2+1\)
\(P=3+\left(\frac{a}{b}\right)^2+\left(\frac{b}{a}\right)^2+\left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2+\left(\frac{c}{a}\right)^2+\left(\frac{c}{b}\right)^2\)
\(P\ge3+2\sqrt{\frac{\left(ab\right)^2}{\left(ab\right)^2}}+2\sqrt{\frac{\left(ab\right)^2}{c^4}}+2\sqrt{\frac{c^4}{\left(ab\right)^2}}\)
\(P\ge5+2\left(\frac{ab}{c^2}+\frac{c^2}{ab}\right)=5+2\left(\frac{ab}{c^2}+\frac{c^2}{16ab}+\frac{15c^2}{ab}\right)\)
\(P\ge5+2\left(2\sqrt{\frac{abc^2}{16abc^2}}+\frac{15}{16}.4\right)=\frac{27}{2}\)
\(\Rightarrow P_{min}=\frac{27}{2}\) khi \(2a=2b=c\)
Sao bạn ko nhóm (a/c)2 với (c/a)2