Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu hỏi của Phạm Trần Minh Trí - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo.
Áp dụng BĐT AM-GM: \(\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+c}{8}\ge\frac{3}{4}a\)
Suy ra \(\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}\ge\frac{3a-b-c}{4}\)
Tương tự các BĐT còn lại và cộng theo vế ta được \(VT\ge\frac{a+b+c}{4}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b= c = 2
Dat \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x,y,z\right)\)
thi \(P= \Sigma \frac{z^2}{x+y} \geq \frac{x+y+z}{2} \) (1)
Mat khac co \(x+y+z=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=3\) (2)
Tu (1) va (2) suy ra \(P\ge\frac{3}{2}\).Dau = xay ra khi \(a=b=c=1\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}a+b+c=p\\ab+bc+ca=q\\abc=r\end{cases}}\)
Thì ta có:
\(\hept{\begin{cases}p^2-2q=3\\A=2p+\frac{q}{r}\end{cases}}\)
Ta có: \(3pr\le q^2\) (cái này dễ thấy nên mình không chứng minh nha)
\(\Leftrightarrow\frac{q}{r}\ge\frac{3p}{q}=\frac{6p}{2q}=\frac{6p}{p^2-3}\)
Thế vô A ta được
\(A=2p+\frac{q}{r}\ge2p+\frac{6p}{p^2-3}\)
Ta chứng minh \(2p+\frac{6p}{p^2-3}\ge9\)
\(\Leftrightarrow2p^3-9p^2+27\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(p-3\right)^2\left(2p+3\right)\ge0\) (đúng)
Vậy GTNN là A = 9
bài này vừa read buổi tối này nek, xài UCT ,tiện thể cho hỏi lun do máy t lỗi hay do hệ thống z , k load bài nào luôn
Ta có: \(0< a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow a^2,b^2,c^2< 3\Rightarrow a,b,c< \sqrt{3}< 2\)
Xét bất đẳng thức phụ: \(2a+\frac{1}{a}\ge\frac{1}{2}a^2+\frac{5}{2}\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-1\right)^2\left(2-a\right)}{2a}\ge0\)*đúng*
Áp dụng, ta được: \(P\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{5}{2}.3=9\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
\(2\sqrt{ab}\le a+b\le c\Rightarrow c^2\ge4ab\Rightarrow\frac{c^2}{ab}\ge4\)
\(P=1+\left(\frac{a}{b}\right)^2+\left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{a}\right)^2+1+\left(\frac{b}{c}\right)^2+\left(\frac{c}{a}\right)^2+\left(\frac{c}{b}\right)^2+1\)
\(P=3+\left(\frac{a}{b}\right)^2+\left(\frac{b}{a}\right)^2+\left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2+\left(\frac{c}{a}\right)^2+\left(\frac{c}{b}\right)^2\)
\(P\ge3+2\sqrt{\frac{\left(ab\right)^2}{\left(ab\right)^2}}+2\sqrt{\frac{\left(ab\right)^2}{c^4}}+2\sqrt{\frac{c^4}{\left(ab\right)^2}}\)
\(P\ge5+2\left(\frac{ab}{c^2}+\frac{c^2}{ab}\right)=5+2\left(\frac{ab}{c^2}+\frac{c^2}{16ab}+\frac{15c^2}{ab}\right)\)
\(P\ge5+2\left(2\sqrt{\frac{abc^2}{16abc^2}}+\frac{15}{16}.4\right)=\frac{27}{2}\)
\(\Rightarrow P_{min}=\frac{27}{2}\) khi \(2a=2b=c\)
Sao bạn ko nhóm (a/c)2 với (c/a)2