Question

[Nguyễn Xuân Minh Đức]

Cho x,y thuộc Z

Chứng minh : x² + y² chia hết cho 3 khi và chỉ khi x chia hết cho 3 và y chia hết cho 3

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

* Chứng minh \(x\vdots 3, y\vdots 3\Rightarrow x^2+y^2\vdots 3(*)\)

Thật vậy \(x\vdots 3; y\vdots 3\Rightarrow x^2\vdots 3; y^2\vdots 3\Rightarrow x^2+y^2\vdots 3\)

* Chứng minh \(x^2+y^2\vdots 3\Rightarrow x\vdots 3; y\vdots 3(**)\)

Tính chất: Số chính phương $x^2$ khi chia cho $3$ dư $0$ hoặc $1$ (để chứng minh điều này, bạn có thể đặt $x=3k,3k+1,3k+2$ và khai triển ta có ngay đpcm)

Áp dụng tính chất trên:

+) Nếu \(x^2\) chia hết cho $3$, $y^2$ chia $3$ dư $1$ \(\rightarrow x^2+y^2\) chia 3 dư 1 (trái giả thiết)

+) Nếu $x^2$ chia 3 dư 1, $y^2$ chia hết cho $3$, thì $x^2+y^2$ chia 3 dư $1$ (trái giả thiết)

+) Nếu $x^2$ chia 3 dư 1, $y^2$ chia 3 dư 1, thì $x^2+y^2$ chia 3 dư $2$ (trái giả thiết)

Do đó $x^2,y^2$ phải cùng chia hết cho $3$. Mà $3$ là số nguyên tố nên \(\Rightarrow x\vdots 3; y\vdots 3\) (đpcm)

Từ \((*) (**): x^2+y^2\vdots 3\Leftrightarrow x\vdots 3; y\vdots 3\)

Ta có đpcm.

Answer 2

[Nguyễn Xuân Minh Đức]

Cảm ơn bạn nhiều nha