Question

[Cửu Lục Nguyệt]

Cho ∆ABC vuông tại A (AB < AC) có AH là đường cao.

a) Chứng minh: △HBA∼ △ABC

b) Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Gọi M là trung điểm của AH. Chứng minh: HD.AC = BD.MC

c) Chứng minh:MC⊥DH

Làm ơn giúp mình với

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

a)

Xét tam giác $HBA$ và $ABC$ có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{CAB}=90^0\)

\(\widehat{B}\) chung

\(\Rightarrow \triangle HBA\sim \triangle ABC(g.g)\)

b)

Xét tam giác $ABH$ và $CAH$ có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{CHA}=90^0\)

\(\widehat{ABH}=\widehat{CAH}(=90^0-\widehat{BAH})\)

\(\Rightarrow \triangle ABH\sim \triangle CAH(g.g)\)

\(\Rightarrow \frac{AB}{BH}=\frac{CA}{AH}\Leftrightarrow \frac{2AB}{BH}=\frac{CA}{\frac{AH}{2}}\Leftrightarrow \frac{BD}{BH}=\frac{AC}{AM}\)

Xét tam giác $BHD$ và $AMC$ có:

\(\widehat{DBH}=\widehat{CAM}(=90^0-\widehat{BAH})\)

\(\frac{BD}{BH}=\frac{AC}{AM}\) (cmt)

\(\Rightarrow \triangle BHD\sim \triangle AMC(c.g.c)\Rightarrow \frac{BD}{HD}=\frac{AC}{MC}\Rightarrow BD.MC=HD.AC\)

Ta có đpcm.

c) Gọi $K,L$ là giao điểm $MC-DH$ và $AC-DH$

Vì \(\triangle BHD\sim \triangle AMC\Rightarrow \widehat{D_1}=\widehat{C_1}\)

Mà \(\widehat{L_1}=\widehat{L_2}\) (đối đỉnh)

\(\Rightarrow \widehat{D_1}+\widehat{L_1}=\widehat{C_1}+\widehat{L_2}\)

\(\Rightarrow 180^0-(\widehat{D_1}+\widehat{L_1})=180^0-(\widehat{C_1}+\widehat{L_2})\)

\(\Rightarrow \widehat{DAL}=\widehat{LKC}\Rightarrow \widehat{LKC}=90^0\)

\(\Rightarrow DH\perp MC\) (đpcm)

Answer 2

[Akai Haruma]

Hình vẽ: