Question

[Nguyễn Thanh Thảo]

Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang vuông tại B,C. AB=4CD=2a, AC vuông góc với BD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và AB. H là giao điểm của MN và BD. SH vuông góc với đáy. Gócđau giữa SB và đáy bằng 60°. Tính k/c giữa SN và BD?

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(\Delta_vABC\sim\Delta_vBCD\left(\widehat{BAC}=\widehat{CBD}\right)\) cùng phụ góc \(\widehat{ACB}\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{CD}\Rightarrow BC=\sqrt{AB.CD}=a\)

Do MN là đường trung bình \(\Delta ABC\) \(\Rightarrow MN//AC\Rightarrow MN\perp BD\)

\(\Rightarrow BH=BN.cos\widehat{CBD}=\frac{1}{2}BC.\frac{BC}{BD}=\frac{1}{2}\frac{BC^2}{\sqrt{BC^2+CD^2}}=\frac{a\sqrt{5}}{5}\)

\(SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow\widehat{SBH}=60^0\Rightarrow SH=BH.tan60^0=\frac{a\sqrt{15}}{5}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}BD\perp SH\\BD\perp MN\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BD\perp\left(SNH\right)\)

Từ H kẻ \(HK\perp SN\Rightarrow HK\) là đường vuông góc chung của SN và BD

\(\Rightarrow HK=d\left(SN;BD\right)\)

\(HN=\sqrt{BN^2-BH^2}=\frac{a\sqrt{5}}{10}\)

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông SHN:

\(\frac{1}{HK^2}=\frac{1}{SH^2}+\frac{1}{NH^2}\Rightarrow HK=\frac{SH.NH}{\sqrt{SH^2+NH^2}}=\frac{a\sqrt{195}}{65}\)