Question

[Incognito]

Cho đường tròn (O) và dây cung AC cố định. Điểm B di chuyển trên đoạn AC. Gọi (O₁),(O₂) thứ tự là đường tròn đường kính AB,BC. Chúng cắt (O) lần lượt tại D,E. Gọi O₁D giao O₂E tại F.

a) Chứng minh rằng FB luôn đi qua điểm cố định khi B thay đổi ?

b) Gọi CE giao AF tại M, AD giao FC tại N, (BNE) cắt (BMD) ở K khác B. KB cắt đường tròn (MNK) tại R khác K. Chứng minh RD=RE ?

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

a) Gọi AD cắt CE tại J. Khi đó tứ giác BEJD nội tiếp đường tròn (BJ).

Dễ thấy ^FDE = ^FDJ + ^EDJ = ^DAC + ^ECA = ^DEJ + ^JEF = ^FED => \(\Delta\)DEF cân tại F

Từ đó nếu gọi I là trung điểm của BJ thì ta có I là tâm nội tiếp của \(\Delta\)FO₁O₂

Do (O₁) và (O) có hai điểm chung là A,B nên O₁O là phân giác ^AO₁D

Tương tự O₂O là phân giác ^CO₂E. Suy ra O là tâm bàng tiếp góc F của \(\Delta\)FO₁O₂

=> F,I,O thẳng hàng. Dễ có ^IEO₁=^IBO₁ = 90⁰.

Gọi tiếp điểm giữa (O) và FO₂ là G, hạ OH vuông góc AB. Khi đó ^FEI = ^FGO (=90⁰)

=> \(\Delta\)FIE ~ \(\Delta\)FOG (g.g) => \(\frac{FI}{FO}=\frac{IE}{OG}=\frac{IJ}{OH}\)kéo theo \(\Delta\)EIJ ~ \(\Delta\)EOH (c.g.c)

=> E,J,H thẳng hàng. Từ đây, gọi S đối xứng với H qua (O) thì \(\Delta\)FJB ~ \(\Delta\)FHS (c.g.c)

=> F,B,S thẳng hàng. Hay FB đi qua S. Ta thấy AC cố định => OH=const => HS=const => S cố định.

Vậy FB luôn đi qua S cố định (đpcm).

b) Theo câu a, FJ đi qua H với H là trung điểm của AC. Theo bổ đề hình thang thì MN//AC

Suy ra ^MND = ^DAC = ^MED => Tứ giác MNED nội tiếp => ^MDN = ^MEN

=> ^MDN + 90⁰ = ^MEN + 90⁰ => ^BDM = ^BEN => 180⁰ - ^BDN = 180⁰ - ^BEN => ^MKB = ^NKB

Vì KB cắt đường tròn (MNK) tại R nên R là điểm chính giữa (MN => RM=RN

Ta lại có ^MEN = ^BEN - 90⁰ = 90⁰ - ^MKN/2 = ^MRN/2. Kết hợp với RM=RN

Dẫn đến điểm E thuộc đường tròn (R,RM). Tương tự có D cũng thuộc (R)

=> R là tâm ngoại tiếp tứ giác DMNE => RD = RE (đpcm).

Answer 2

[Nguyễn Tất Đạt]

Sửa E thành F ở chỗ "\(\Delta\)EIJ ~ \(\Delta\)EOH" nhé ! Gõ nhầm :)