cho a>0,b>0.CMR:\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
2 tháng 9 2019
Bài 1:
a) Áp dụng BĐT Cô-si:
\(VT=a-1+\frac{1}{a-1}+1\ge2\sqrt{\frac{a-1}{a-1}}+1=2+1=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=2\).
b) BĐT \(\Leftrightarrow a^2+2\ge2\sqrt{a^2+1}\)
\(\Leftrightarrow a^2+1-2\sqrt{a^2+1}+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+1}-1\right)^2\ge0\) ( LĐ )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=0\).
Bài 2: tương tự 1b.
2 tháng 9 2019
Bài 3:
Do \(a,b,c\) dương nên ta có các BĐT:
\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
Tương tự: \(\frac{b}{a+b+c}< \frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c};\frac{c}{a+b+c}< \frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)
Cộng theo vế 3 BĐT:
\(\frac{a+b+c}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)( đpcm )
TN
0
N
6
23 tháng 6 2018
Ta có : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\)
\(=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}+\frac{2ab}{ab}\)
\(=\frac{\left(a^2+2ab+b^2\right)}{ab}\)
\(=\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}\ge0\)( luôn đúng với a >b > 0 )
Dấu "=" xảy ra khi : \(a+b=0\Leftrightarrow a=-b\)
Vậy ....
23 tháng 6 2018
Easy làm luôn :)
a0 Ta có: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)
vì \(a>0;b>0\left(gt\right)\Rightarrow ab>0\)nên ta có:
\(\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\Leftrightarrow ab.\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
Vậy
LT
1
3 tháng 4 2017
Quy đồng mẫu số ở vế trái:\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\)
Ta cần chứng minh : \(\frac{a^2+b^2}{ab}\)\(\ge\)2 \(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2\ge2ab\)
Chứng minh bất đẳng thức Cosi(lớp 8) : Ta luôn có : \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\)\(a^2-2ab+b^2\ge0\)\(\Rightarrow a^2+b^2\ge0+2ab=2ab\)(1)
Từ (1) suy ra bài toán luôn đúng với mọi a,b hay \(\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)hay \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
\(\Rightarrow\)đpcm.
25 tháng 4 2019
sửa lại b>0
Ta có ta có a/b + b/a \(\ge\) 2 (a^2 + b^2 )/ab \(\ge\) 2 a^2 + b^2 \(\ge\) 2ab =>a^2 -2ab + b^2 \(\ge\) 0 =>(a - b)^2 >= 0 luôn đúng suy ra điều phải chứng minh dấu '" = "' xảy ra khi và chỉ khi a = b
PV
2
CT
26 tháng 1 2019
mik ví dụ 1 biểu thức nha
a(a+b+c)+bc/b+c=a^2+ab+ac+bc/b+c=(a+c)(a+b)/b+c
tương tự với mấy biểu thức còn lại
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 9 2019
Đây này bạn:
Câu hỏi của tran thi mai anh - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=2\)
⇔ \(\frac{a}{b}-1+\frac{b}{a}-1=0\)
⇔ \(\frac{a-b}{b}+\frac{b-a}{a}=0\)
⇔ \(\frac{a^2-ab+b^2-ba}{ab}=0\)
⇔ \(\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}=0\) (1)
mà \(\left(a-b\right)^2\ge0\)(khi a = b) và a>0, b>0 nên (1) >0
vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
sửa giùm chỗ (1) ≥ 0 chứ không phải (1) > 0