Giải pt:\(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=x^2-6x+11\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
26 tháng 8 2023
Chỗ Bunyakovsky mình sửa lại 1 chút:
\(\left(1.\sqrt{x-2}+1.\sqrt{4-x}\right)^2\) \(\le\left(1^2+1^2\right)\left[\left(\sqrt{x-2}\right)^2+\left(\sqrt{4-x}\right)^2\right]\)
\(=2\left(x-2+4-x\right)\) \(=4\)
\(\Rightarrow\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\le2\)
Hơn nữa \(x^2-6x+11=\left(x-3\right)^2+2\ge2\)
Từ đó dấu "=" phải xảy ra ở cả 2 BĐT trên, tức là:
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-2}=\sqrt{4-x}\\x-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=3\)
Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất \(x=3\)
26 tháng 8 2023
Đính chính
...Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :
\(\left(1.\sqrt[]{x-2}+1.\sqrt[]{4-x}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x-2+4-x\right)=2.2=4\)
\(\Rightarrow\sqrt[]{x-2}+\sqrt[]{4-x}\le2\)
mà \(x^2-6x+11=x^2-6x+9+2=\left(x-3\right)^2+2\ge2\)
\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{\sqrt[]{x-2}}=\dfrac{1}{\sqrt[]{4-x}}\\x-3=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2=4-x\\x=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=6\\x=3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=3\)
Vậy \(x=3\) là nghiệm của pt (1)
Q
3
KN
15 tháng 3 2020
Cách khácP:
Áp dụng bđt Bunhiacopski cho 2 bộ số \(\left(\sqrt{x-2};1\right)\)và \(\left(\sqrt{4-x};1\right)\)
\(\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\right)^2\le\left(1+1\right)\left(x-2+4-x\right)\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\right)^2\le4\)
\(\Rightarrow\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\le2\)
Xét \(VP=x^2-6x+11=\left(x-3\right)^2+2\ge2\)
Từ đó suy ra VT = VP khi \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=2\\\left(x-3\right)^2+2=2\end{cases}}\Leftrightarrow x=3\)
Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là 3
15 tháng 3 2020
ĐK: \(2\le x\le4\)
Đặt: \(t=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\ge0\)
<=> \(t^2=x-2+4-x+2\sqrt{-x^2+6x-8}\)
<=> \(t^2-2=2\sqrt{-x^2+6x-8}\)
=> \(-x^2+6x-8=\frac{t^4-4t^2+4}{4}\)
<=> \(x^2-6x+11=-\frac{t^4-4t^2+4}{4}+3\)
Khi đó ta có pt: \(t=-\frac{t^4-4t^2+4}{4}+3\)
<=> \(t^4-4t^2+4t-8=0\)
<=> \(t^2\left(t-2\right)\left(t+2\right)+4\left(t-2\right)=0\)
<=> \(\left(t-2\right)\left(t^3+2t^2+4\right)=0\)( với t >= 0 ta có t^3 + 2t^2 + 4 > 0)
<=> t - 2 = 0 <=> t = 2
Với t = 2 ta thay vào có nghiệm x = 2 ( tmđk)
Thử lại với bài toán ban đầu ta có x = 2 là nghiệm
TG
28 tháng 11 2021
b) Đặt \(\sqrt{x^2-6x+6}=a\left(a\ge0\right)\)
\(\Rightarrow a^2+3-4a=0\)
=> (a - 3).(a - 1) = 0
=> \(\left[{}\begin{matrix}a=3\\a=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-6x+6}=3\\\sqrt{x^2-6x+6}=1\end{matrix}\right.\)
Bình phương lên giải tiếp nhé!
c) Tương tư câu b nhé
DT
1
TG
28 tháng 11 2021
Tớ đã trả lời ở câu hỏi mới nhất r nên xin phép được xóa câu hỏi này nhé
8 tháng 3 2018
Như thế này @Cold Wind
\(\sqrt{2y-2}+\sqrt{4-x}-x^2+6x-11=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2y-2}+\sqrt{4-x}=x^2-6x+11\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2y-2}+\sqrt{4-2y}=4y^2-12y+11\)
Ta có \(VT^2\le\left(1+1\right)\left(2y-2+4-2y\right)=2^2\)
\(\Leftrightarrow VT\le2\)
Mà \(VP=4y^2-12y+11=\left(2y-3\right)^2+2\ge2\)
\(VT\le VP=2\Leftrightarrow VT=VP=2\)
\(\Leftrightarrow\left(2y-3\right)^2+2=2\Leftrightarrow2y-3=0\Leftrightarrow y=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow x=3\)
16 tháng 8 2023
a:
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-3\right)^2}=3\)
=>|x-3|=3
=>x-3=3 hoặc x-3=-3
=>x=0 hoặc x=6
b: \(\Leftrightarrow\sqrt{x-1+2\sqrt{x-1}+1}=2\)
=>\(\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2}=2\)
=>\(\left|\sqrt{x-1}+1\right|=2\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}+1=2\\\sqrt{x-1}+1=-2\left(loại\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=1\)
=>x-1=1
=>x=2
c:
ĐKXĐ: x>4/5
PT \(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{5x-4}{x+2}}=2\)
=>\(\dfrac{5x-4}{x+2}=4\)
=>5x-4=4x+8
=>x=12(nhận)
d: ĐKXĐ: x-4>=0 và x+1>=0
=>x>=4
PT =>\(\left(\sqrt{x-4}+\sqrt{x+1}\right)^2=5^2=25\)
=>\(x-4+x+1+2\sqrt{\left(x-4\right)\left(x+1\right)}=25\)
=>\(\sqrt{4\left(x^2-3x-4\right)}=25-2x+3=28-2x\)
=>\(\sqrt{x^2-3x-4}=14-x\)
=>x<=14 và x^2-3x-4=(14-x)^2=x^2-28x+196
=>x<=14 và -3x-4=-28x+196
=>x<=14 và 25x=200
=>x=8(nhận)
H9
HT.Phong (9A5)
CTVHS
16 tháng 8 2023
a) \(\sqrt{x^2-6x+9}=3\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-3\right)^2}=3\)
\(\Leftrightarrow\left|x-3\right|=3 \)
TH1: \(\left|x-3\right|=x-3\) với \(x\ge3\)
Pt trở thành:
\(x-3=3\) (ĐK: \(x\ge3\))
\(\Leftrightarrow x=3+3\)
\(\Leftrightarrow x=6\left(tm\right)\)
TH2: \(\left|x-3\right|=-\left(x-3\right)\) với \(x< 3\)
Pt trở thành:
\(-\left(x-3\right)=3\) (ĐK: \(x< 3\))
\(\Leftrightarrow x-3=-3\)
\(\Leftrightarrow x=-3+3\)
\(\Leftrightarrow x=0\left(tm\right)\)
b) \(\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}=2\) (ĐK: \(x\ge1\))
\(\Leftrightarrow x+2\sqrt{x-1}=4\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{x-1}=4-x\)
\(\Leftrightarrow4\left(x-1\right)=16-8x+x^2\)
\(\Leftrightarrow4x-4=16-8x+x^2\)
\(\Leftrightarrow x^2-12x+20=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-10\right)\left(x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=10\left(tm\right)\\x=2\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)
c) \(\dfrac{\sqrt{5x-4}}{\sqrt{x+2}}=2\) (ĐK: \(x\ge\dfrac{4}{5}\))
\(\Leftrightarrow\dfrac{5x-4}{x+2}=4\)
\(\Leftrightarrow5x-4=4x+8\)
\(\Leftrightarrow x=12\left(tm\right)\)
cm biểu thức phụ \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\le\sqrt{2\left(a+b\right)}\)
ta có \(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\le\sqrt{2\left(x-2+4-3\right)}=2\)
VT\(\le2\) dau bang xay ra khi x=3
x2-6x+11\(=\left(x-3\right)^2+2\ge2\)
VP\(\ge2\)dau bang xay ra khi x=3
VT\(\le2\) và VP\(\ge2\) nên VT=VP=2 khi x=3