K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
Q
3
KN
15 tháng 3 2020
Cách khácP:
Áp dụng bđt Bunhiacopski cho 2 bộ số \(\left(\sqrt{x-2};1\right)\)và \(\left(\sqrt{4-x};1\right)\)
\(\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\right)^2\le\left(1+1\right)\left(x-2+4-x\right)\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\right)^2\le4\)
\(\Rightarrow\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\le2\)
Xét \(VP=x^2-6x+11=\left(x-3\right)^2+2\ge2\)
Từ đó suy ra VT = VP khi \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=2\\\left(x-3\right)^2+2=2\end{cases}}\Leftrightarrow x=3\)
Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là 3
15 tháng 3 2020
ĐK: \(2\le x\le4\)
Đặt: \(t=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\ge0\)
<=> \(t^2=x-2+4-x+2\sqrt{-x^2+6x-8}\)
<=> \(t^2-2=2\sqrt{-x^2+6x-8}\)
=> \(-x^2+6x-8=\frac{t^4-4t^2+4}{4}\)
<=> \(x^2-6x+11=-\frac{t^4-4t^2+4}{4}+3\)
Khi đó ta có pt: \(t=-\frac{t^4-4t^2+4}{4}+3\)
<=> \(t^4-4t^2+4t-8=0\)
<=> \(t^2\left(t-2\right)\left(t+2\right)+4\left(t-2\right)=0\)
<=> \(\left(t-2\right)\left(t^3+2t^2+4\right)=0\)( với t >= 0 ta có t^3 + 2t^2 + 4 > 0)
<=> t - 2 = 0 <=> t = 2
Với t = 2 ta thay vào có nghiệm x = 2 ( tmđk)
Thử lại với bài toán ban đầu ta có x = 2 là nghiệm
18 tháng 11 2015
cm biểu thức phụ \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\le\sqrt{2\left(a+b\right)}\)
ta có \(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\le\sqrt{2\left(x-2+4-3\right)}=2\)
VT\(\le2\) dau bang xay ra khi x=3
x2-6x+11\(=\left(x-3\right)^2+2\ge2\)
VP\(\ge2\)dau bang xay ra khi x=3
VT\(\le2\) và VP\(\ge2\) nên VT=VP=2 khi x=3
8 tháng 3 2018
Như thế này @Cold Wind
\(\sqrt{2y-2}+\sqrt{4-x}-x^2+6x-11=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2y-2}+\sqrt{4-x}=x^2-6x+11\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2y-2}+\sqrt{4-2y}=4y^2-12y+11\)
Ta có \(VT^2\le\left(1+1\right)\left(2y-2+4-2y\right)=2^2\)
\(\Leftrightarrow VT\le2\)
Mà \(VP=4y^2-12y+11=\left(2y-3\right)^2+2\ge2\)
\(VT\le VP=2\Leftrightarrow VT=VP=2\)
\(\Leftrightarrow\left(2y-3\right)^2+2=2\Leftrightarrow2y-3=0\Leftrightarrow y=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow x=3\)
16 tháng 8 2023
a:
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-3\right)^2}=3\)
=>|x-3|=3
=>x-3=3 hoặc x-3=-3
=>x=0 hoặc x=6
b: \(\Leftrightarrow\sqrt{x-1+2\sqrt{x-1}+1}=2\)
=>\(\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2}=2\)
=>\(\left|\sqrt{x-1}+1\right|=2\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}+1=2\\\sqrt{x-1}+1=-2\left(loại\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=1\)
=>x-1=1
=>x=2
c:
ĐKXĐ: x>4/5
PT \(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{5x-4}{x+2}}=2\)
=>\(\dfrac{5x-4}{x+2}=4\)
=>5x-4=4x+8
=>x=12(nhận)
d: ĐKXĐ: x-4>=0 và x+1>=0
=>x>=4
PT =>\(\left(\sqrt{x-4}+\sqrt{x+1}\right)^2=5^2=25\)
=>\(x-4+x+1+2\sqrt{\left(x-4\right)\left(x+1\right)}=25\)
=>\(\sqrt{4\left(x^2-3x-4\right)}=25-2x+3=28-2x\)
=>\(\sqrt{x^2-3x-4}=14-x\)
=>x<=14 và x^2-3x-4=(14-x)^2=x^2-28x+196
=>x<=14 và -3x-4=-28x+196
=>x<=14 và 25x=200
=>x=8(nhận)
H9
HT.Phong (9A5)
CTVHS
16 tháng 8 2023
a) \(\sqrt{x^2-6x+9}=3\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-3\right)^2}=3\)
\(\Leftrightarrow\left|x-3\right|=3 \)
TH1: \(\left|x-3\right|=x-3\) với \(x\ge3\)
Pt trở thành:
\(x-3=3\) (ĐK: \(x\ge3\))
\(\Leftrightarrow x=3+3\)
\(\Leftrightarrow x=6\left(tm\right)\)
TH2: \(\left|x-3\right|=-\left(x-3\right)\) với \(x< 3\)
Pt trở thành:
\(-\left(x-3\right)=3\) (ĐK: \(x< 3\))
\(\Leftrightarrow x-3=-3\)
\(\Leftrightarrow x=-3+3\)
\(\Leftrightarrow x=0\left(tm\right)\)
b) \(\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}=2\) (ĐK: \(x\ge1\))
\(\Leftrightarrow x+2\sqrt{x-1}=4\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{x-1}=4-x\)
\(\Leftrightarrow4\left(x-1\right)=16-8x+x^2\)
\(\Leftrightarrow4x-4=16-8x+x^2\)
\(\Leftrightarrow x^2-12x+20=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-10\right)\left(x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=10\left(tm\right)\\x=2\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)
c) \(\dfrac{\sqrt{5x-4}}{\sqrt{x+2}}=2\) (ĐK: \(x\ge\dfrac{4}{5}\))
\(\Leftrightarrow\dfrac{5x-4}{x+2}=4\)
\(\Leftrightarrow5x-4=4x+8\)
\(\Leftrightarrow x=12\left(tm\right)\)
5 tháng 11 2018
ĐKXĐ \(2\le x\le4\).Đặt A=\(\sqrt[4]{\left(x-2\right)\left(4-x\right)}+\sqrt[4]{x-2}+\sqrt[4]{4-x}+6x\sqrt{3x}\)
Do x\(\ge2>0\)nên ADBĐT CAUCHY ta được:
\(\sqrt[4]{1\cdot1\cdot\left(x-2\right)\left(4-x\right)}\le\frac{1+1+x-2+4-x}{4}=1\)
\(\sqrt[4]{x-2}\le\frac{1+1+1+x-2}{4}=\frac{1}{4}\)
\(\sqrt[4]{4-x}\le\frac{1+1+1+4-x}{4}=\frac{7}{4}\)
\(6x\sqrt{3x}=2\sqrt{27x^3}\le x^3+27\)
_Do đó A\(\le1+\frac{1}{4}+\frac{7}{4}+x^3+27=x^3+30\)
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow x=3\)(thỏa mãn ĐKXĐ)
CW
2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 3 2018
Lời giải:
ĐKXĐ: \(-2\leq x\leq 2\)
Ta có: \(\sqrt{2x+4}=\frac{6x-4}{\sqrt{x^2+4}}+2\sqrt{2-x}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{2x+4}-2\sqrt{2-x}=\frac{6x-4}{\sqrt{x^2+4}}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{2x+4}-\sqrt{8-4x}=\frac{6x-4}{\sqrt{x^2+4}}\)
\(\Leftrightarrow \frac{2x+4-(8-4x)}{\sqrt{2x+4}+\sqrt{8-4x}}=\frac{6x-4}{\sqrt{x^2+4}}\)
\(\Leftrightarrow \frac{6x-4}{\sqrt{2x+4}+\sqrt{8-4x}}=\frac{6x-4}{\sqrt{x^2+4}}\)
\(\Leftrightarrow (6x-4)\left(\frac{1}{\sqrt{2x+4}+\sqrt{8-4x}}-\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} 6x-4=0(1)\\ \sqrt{2x+4}+\sqrt{8-4x}=\sqrt{x^2+4}(2)\end{matrix}\right.\)
\((1)\Rightarrow x=\frac{2}{3}\) (thỏa mãn)
Xét (2) \(\Rightarrow 2x+4+8-4x+2\sqrt{(2x+4)(8-4x)}=x^2+4\)
\(\Leftrightarrow 12-2x+4\sqrt{2(4-x^2)}=x^2+4\)
\(\Leftrightarrow 4\sqrt{2(4-x^2)}=x^2+2x-8=(x-2)(x+4)\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{2-x}(4\sqrt{2(x+2)}+(x+4)\sqrt{2-x})=0\)
Hiển nhiên biểu thức dài trong ngoặc luôn lớn hơn 0 \((x\geq -2\rightarrow x+4\geq 2\) )
Do đó \(\sqrt{2-x}=0\Leftrightarrow x=2\) (cũng thỏa mãn)
Vậy ....
VD
30 tháng 11 2019
tự làm điều kiện nhé:
pt⇔\(\sqrt{2x+4}-2\sqrt{2-x}=\frac{6x-4}{\sqrt{x^2+4}}\)
⇔\(\frac{2x+4-4\left(2-x\right)}{\sqrt{2x+4}+2\sqrt{2-x}}=\frac{6x-4}{\sqrt{x^2+4}}\) \(\Leftrightarrow\left(6x-4\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2x+4}+2\sqrt{2-x}}-\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{2}{3}\\\sqrt{2x+4}+2\sqrt{2-x}=\sqrt{x^2+4}\left(\circledast\right)\end{matrix}\right.\) giải (✳): ta dc x=2
bình phương 2 vế lên giải nhé
cuối cùng xét điều kiện rồi kết luận nghiện
LB
0
Chỗ Bunyakovsky mình sửa lại 1 chút:
\(\left(1.\sqrt{x-2}+1.\sqrt{4-x}\right)^2\) \(\le\left(1^2+1^2\right)\left[\left(\sqrt{x-2}\right)^2+\left(\sqrt{4-x}\right)^2\right]\)
\(=2\left(x-2+4-x\right)\) \(=4\)
\(\Rightarrow\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\le2\)
Hơn nữa \(x^2-6x+11=\left(x-3\right)^2+2\ge2\)
Từ đó dấu "=" phải xảy ra ở cả 2 BĐT trên, tức là:
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-2}=\sqrt{4-x}\\x-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=3\)
Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất \(x=3\)
Đính chính
...Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :
\(\left(1.\sqrt[]{x-2}+1.\sqrt[]{4-x}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x-2+4-x\right)=2.2=4\)
\(\Rightarrow\sqrt[]{x-2}+\sqrt[]{4-x}\le2\)
mà \(x^2-6x+11=x^2-6x+9+2=\left(x-3\right)^2+2\ge2\)
\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{\sqrt[]{x-2}}=\dfrac{1}{\sqrt[]{4-x}}\\x-3=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2=4-x\\x=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=6\\x=3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=3\)
Vậy \(x=3\) là nghiệm của pt (1)