K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Xét ΔMAB có MD/DA=ME/EB

nên DE//AB

=>DE/AB=MD/MA=1/3

Xét ΔMAC có MF/MC=MD/MA

nên FD//AC

=>FD/AC=MF/MC=1/3

Xét ΔMBC có ME/EB=MF/FC

nên EF//BC

=>EF/BC=MF/MC=1/3

=>DE/AB=FD/AC=EF/BC

=>ΔDEF đồng dạngvới ΔABC

11 tháng 10 2018

A B C M D E F I K L G N

Gọi G là đỉnh thứ tư của hình bình hành KMIG. Giao điểm của MG và IK là N.

Do tứ giác KMIG là hình bình hành nên MI = KG và ^MKG + ^KMI = 1800 hay ^MKG + ^EMD = 1800

Ta có: \(\frac{MI}{BC}=\frac{MK}{AC}\). Do MI = KG nên \(\frac{KG}{BC}=\frac{MK}{AC}\)

Xét tứ giác CDME có: ^CDM = ^CEM = 900 => ^ECD + ^EMD = 1800. Mà ^MKG + ^EMD = 1800 (cmt)

Nên ^ECD = ^MKG hay ^ACB = ^MKG 

Xét \(\Delta\)ABC và \(\Delta\)MGK có: \(\frac{GK}{BC}=\frac{MK}{AC}\); ^ACB = ^MKG => \(\Delta\)ABC ~ \(\Delta\)MGK (c.g.c)

=> ^BAC = ^GMK và \(\frac{MG}{AB}=\frac{MK}{AC}\)

Lại có: \(\frac{MK}{AC}=\frac{ML}{AB};\frac{MG}{AB}=\frac{MK}{AC}\)(cmt) => \(\frac{ML}{AB}=\frac{MG}{AB}\)=> ML = MG

Ta thấy: Tứ giác AFME có ^AFM = ^AEM = 900 => ^FAE + ^FME = 1800 . Mà ^FAE = ^BAC = ^GMK (cmt)

Nên ^GMK + ^FME = 1800 => G;M;F thẳng hàng. Hay G;M;I thẳng hàng

Mặt khác: N là trung điểm KI và MG (T/c hbh) => Điểm M nằm trên trung tuyến LN của \(\Delta\)IKL (1)

MG = ML; MN = 1/2.MG (cmt) => MN=1/2.ML (2)

Từ (1) và (2) => M là trọng tâm của \(\Delta\)IKL (đpcm).

AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 8 2023

Lời giải:

a/ Trên tia đối của tia $MA$ lấy $K$ sao cho $MA=MK$

Dễ thấy $\triangle BMA = \triangle CMK$ (c.g.c)

$\Rightarrow AB=CK$ và $\widehat{B_1}=\widehat{C_1}$

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên $AB\parallel CK$

Mà $AB\perp AC\Rightarrow CK\perp AC$

Xét tam giác $BAC$ và $KCA$ có:

$CA$ chung

$AB=CK$ (cmt) 

$\widehat{BAC}=\widehat{KCA}=90^0$ 

$\Rightarrow \triangle BAC=\triangle KCA$ (c.g.c)

$\Rightarrow BC=KA$
$\Rightarrow BC:2=KA:2$ hay $BM=AM$ (đpcm) 

b. Tam giác $MBA$ cân tại $M$ (do $AM=BM$) nên đường trung tuyến $MF$ đồng thời là đường cao ứng với cạnh đáy $AB$

$\Rightarrow MF\perp AB$

c. Vì $MF\perp AB$ nên $S_{ABM}=MF.AB:2$
$S_{ABC}=CA.AB:2$

Mà $2S_{ABM}=S_{ABC}$ nên $MF.AB=CA.AB:2$

$\Rightarrow MF=AC:2(1)$

Xét tam giác vuông $HAC$ có trung tuyến $HE$. Ứng dụng kết quả của phần a: Tam giác vuông $BAC$ có trung tuyến AM bằng $MB$ và bằng 1 nửa cạnh huyền. Khi đó $HE=AC:2(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow HE=MF$

AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 8 2023

Hình vẽ:

4 tháng 12 2015

nhìn đề khó quá bạn

 

15 tháng 7 2018

làm kiểu gì vậy mình ko biết

3 tháng 5 2018

b. Do tứ giác MDBE nội tiếp (cmt) => \(\widehat{MBE}=\widehat{MBC}=\widehat{MDE}=\frac{1}{2}sđ\widebat{MC}\)(1)

Vì MD \(\perp\)AB tại D (gt) => \(\widehat{MDA}=90^o\)

MF \(\perp\)AC tại F (gt) => \(\widehat{MFA}=90^o\)

Xét tứ giác ADMF có: \(\widehat{MDA}+\widehat{MFA}=90^o+90^o=180^o\)=> tứ giác ADMF nội tiếp (dhnb)

=> \(\widehat{MDF}=\widehat{MAF}=\widehat{MAC}=\frac{1}{2}sđ\widebat{MC}\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{MDE}=\widehat{MDF}\)=> D, E, F thẳng hàng (2 góc có cùng số đo, có 1 cạnh chung, 2 cạnh còn lại của 2 góc cùng nằm về 1 phía so với cạnh chung thì 2 cạnh còn lại trùng nhau)

* Ta có: tứ giác MEFC nội tiếp (cmt) => \(\widehat{EFM}=\widehat{ECM}=\frac{1}{2}sđ\widebat{EM}\)\(\Leftrightarrow\widehat{DFM}=\widehat{BCM}\)(3)

tứ giác MDBE nội tiếp (cmt) => \(\widehat{MDE}=\widehat{MBE}=\frac{1}{2}sđ\widebat{ME}\)\(\Leftrightarrow\widehat{MDF}=\widehat{MBC}\)(4)

Từ (3) và (4) => \(\Delta MDF\)đồng dạng với \(\Delta MBC\)(g.g) => \(\frac{MD}{MB}=\frac{MF}{MC}\Leftrightarrow MB\times MF=MD\times MC\)(đpcm)

c. Nối A với M, B với M 

Ta có: \(\widehat{AMB}=\widehat{ACB}=\frac{1}{2}sđ\widebat{AB}\)(5)

Do tứ giác MEFC nội tiếp => \(\widehat{FME}=\widehat{FCE}=\frac{1}{2}sđ\widebat{EF}=\widehat{ACB}=\frac{1}{2}sđ\widebat{AB}\)(6)

Từ (5) và (6) => \(\widehat{AMB}=\widehat{FME}\)(7)

lại có: tứ giác ADMF nội tiếp (cmt) => \(\widehat{MAD}=\widehat{MFD}=\frac{1}{2}sđ\widebat{MD}\Leftrightarrow\widehat{MAB}=\widehat{MFE}\)(8)

từ (7) và (8) => \(\Delta ABM\)đồng dạng với \(\Delta FEM\)(g.g) => \(\frac{AB}{FE}=\frac{AM}{FM}\Leftrightarrow\frac{AB}{AM}=\frac{FE}{FM}\Leftrightarrow\frac{2\times AI}{AM}=\frac{2\times FK}{FM}\Leftrightarrow\frac{AI}{AM}=\frac{FK}{FM}\)(9)

Lại có: \(\widehat{MAD}=\widehat{MFD}\)(CMT) => \(\widehat{MAI}=\widehat{MFK}\)(10)

Từ (9) và (10) => \(\Delta MAI\)đồng dạng với \(\Delta MFK\)(c.g.c) => \(\widehat{IMA}=\widehat{KMF}\)(11)

Ta có: \(\widehat{MID}\)là góc ngoài tại đỉnh I của \(\Delta MAI\)=> \(\widehat{MID}=\widehat{MAI}+\widehat{IMA}\)

Tương tự: \(\widehat{MKD}\)là góc ngoài tại đỉnh K của \(\Delta MFK\)=> \(\widehat{MKD}=\widehat{MFK}+\widehat{KMF}\)

Từ (10) và (11) => \(\widehat{MID}=\widehat{MKD}\)=> Tứ giác MDIK là tứ giác nội tiếp (DHNB) => \(\widehat{IDM}+\widehat{IKM}=180^o\)(Hệ quả)

Mà \(\widehat{IDM}=\widehat{ADM}=90^o\)=> \(\widehat{IKM}=90^o\)<=> MK vuông góc với KI (ĐPCM)