Chứng minh rằng :
a, Nếu \(a\equiv1\)(mod 2 ) thì \(a^2\equiv1\)
b, Nếu \(a\equiv1\)(mod 3) thì \(a^3\equiv1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
N
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 1 2018
Lời giải:
Vì $m,n$ là hai số nguyên tố cùng nhau nên theo định lý Euler ta có:
\(\left\{\begin{matrix} m^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod n\\ n^{\varphi (m)}\equiv 0 \pmod n\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m^{\varphi (n)}+n^{\varphi (m)}\equiv 1\pmod n\) (1)
Tương tự:
\(\left\{\begin{matrix} m^{\varphi (n)}\equiv 0\pmod m\\ n^{ \varphi (m)}\equiv 1\pmod m\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m^{\varphi (n)}+n^{\varphi (m)}\equiv 1\pmod m\) (2)
Từ (1) và (2) ta có thể đặt \(m^{\varphi (n)}+n^{\varphi (m)}=mk+1=nt+1\)
(trong đó \(k,t\in\mathbb{N}\) )
\(\Rightarrow mk=nt\Rightarrow mk\vdots n\). Mà (m,n) nguyên tố cùng nhau nên \(k\vdots n\Rightarrow k=nu (u\in\mathbb{N})\)
Khi đó:
\(m^{\varphi (n)}+n^{\varphi (m)}=mnu+1\Leftrightarrow m^{\varphi (n)}+n^{\varphi (m)} \equiv 1\pmod {mn}\)
Ta có đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 1 2019
Lời giải:
Theo định lý Fermat nhỏ, với mọi snt $p,q$ mà $(p,q)=1$ ta luôn có:
\(\left\{\begin{matrix} p^{q-1}\equiv 1\pmod q\\ q^{p-1}\equiv 1\pmod p\end{matrix}\right.\)Mà \(\left\{\begin{matrix} q^{p-1}\equiv 0\pmod q\\ p^{q-1}\equiv 0\pmod p\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} p^{q-1}+q^{p-1}\equiv 1\pmod q\\ q^{p-1}+p^{q-1}\equiv 1\pmod p\end{matrix}\right.\)
Đặt \(p^{q-1}+q^{p-1}=qm+1=pn+1\)
\(\Rightarrow qm=pn\). Mà $(p,q)=1$ nên \(qm\vdots p\Rightarrow m\vdots p\). Đặt \(m=pm_1\)
Khi đó: \(p^{q-1}+q^{p-1}=qm+1=qpm_1+1\equiv 1\pmod {pq}\)
Ta có đpcm.
9 tháng 4 2022
Đặt \(n=4k+1\) thì \(P=\dfrac{\left(4k+1\right)\left(4k+2\right)\left(4k+4\right)\left(4k+6\right)}{2}=8\left(4k+1\right)\left(2k+1\right)\left(k+1\right)\left(2k+3\right)\) là số lập phương.
Dẫn đến \(Q=\left(4k+1\right)\left(2k+1\right)\left(k+1\right)\left(2k+3\right)\) là số lập phương.
Lại có \(\left(2k+1,4k+1\right)=1;\left(2k+1,k+1\right)=1;\left(2k+1,2k+3\right)=1\) nên \(\left(2k+1,\left(4k+1\right)\left(k+1\right)\left(2k+3\right)\right)=1\).
Do đó để Q là số lập phương thì \(2k+1\) và \(R=\left(4k+1\right)\left(k+1\right)\left(2k+3\right)\) là số lập phương.
Mặt khác, ta có \(R=8k^3+22k^2+17k+3\)
\(\Rightarrow8k^3+12k^2+6k+1=\left(2k+1\right)^3< R< 8k^3+24k^2+24k+8=\left(2k+2\right)^3\) nên \(R\) không thể là số lập phương.
Vậy...
Ta có : a=1 (gt)=> a^2 =1.1=1=a
=> a^3 =1.1.1=1=a