Cho \(a\ge2b\).CMR: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge\frac{5}{2}\)
Easy mà đúng không? (Gợi ý:Đặt \(\frac{a}{b}=x\) sau đó tìm đk của x rồi tự làm tiếp)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
3 tháng 8 2018
Xét hiệu:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}\)
\(=\frac{b\left(a+b\right)+a\left(a+b\right)-4ab}{ab\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{ab+b^2+a^2+ab-4ab}{ab\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab\left(a+b\right)}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\) \(\forall a;b>0\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b.
Vậy \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\).
Bài này là hệ quả của bất đăng thức cosi. Chúc bạn học tốt.
3 tháng 8 2018
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}\)
mà ta có \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
=>\(\frac{a+b}{ab}\ge\frac{a+b}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\left(a+b\right):\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{4\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)^2}=\frac{4}{a+b}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b
TP
21 tháng 6 2019
\(B=\frac{9-x}{\sqrt{x}+3}-\frac{x-6\sqrt{x}+9}{\sqrt{x}-3}-6\)(đk: x ≥ 0 và x ≠ 9)
\(B=\frac{\left(3-\sqrt{x}\right)\left(3+\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}+3}-\frac{\left(\sqrt{x}-3\right)^2}{\sqrt{x}-3}-6\)
\(B=\left(3-\sqrt{x}\right)-\left(\sqrt{x}-3\right)-6\)
\(B=3-\sqrt{x}-\sqrt{x}+3-6\)
\(B=-2\sqrt{x}\)
TP
21 tháng 6 2019
\(A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-6}-\frac{3}{\sqrt{x}+6}+\frac{x}{36-x}\)(đk: x ≥ 0 và x ≠ 36)
\(=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-6}-\frac{3}{\sqrt{x}+6}-\frac{x}{x-36}\)
\(=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-6}-\frac{3}{\sqrt{x}+6}-\frac{x}{x-36}\)
\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+6\right)-3\left(\sqrt{x-6}\right)-x}{(\sqrt{x}-6)\left(\sqrt{x}+6\right)}\)
\(=\frac{x+6\sqrt{x}-3\sqrt{x}+18-x}{(\sqrt{x}-6)\left(\sqrt{x}+6\right)}\)
\(=\frac{3\sqrt{x}+18}{(\sqrt{x}-6)\left(\sqrt{x}+6\right)}\)
\(=\frac{3(\sqrt{x}+6)}{(\sqrt{x}-6)\left(\sqrt{x}+6\right)}\)
\(=\frac{3}{\sqrt{x}-6}\)
1 tháng 6 2020
BĐT Bunhiacopxky em chưa học cô ạ
Cô cong cách nào không ạ
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 6 2020
Nguyễn Thị Nguyệt Ánh:
Vậy thì bạn có thể chứng minh $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$ thông qua BĐT Cô-si:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$
$xy+yz+xz\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}$
Nhân theo vế:
$(x+y+z)(xy+yz+xz)\geq 9xyz$
$\Rightarrow \frac{xy+yz+xz}{xyz}\geq \frac{9}{x+y+z}$
hay $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 7 2020
a/ \(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã cho đúng
b/ \(\frac{a}{a+b^2}=\frac{a}{a\left(a+b+c\right)+b^2}=\frac{a}{a^2+b^2+a\left(b+c\right)}\le\frac{a}{2ab+a\left(b+c\right)}=\frac{1}{b+b+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b^2}=\frac{1}{b+b+b+c}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{16}\left(\frac{3}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Tương tự: \(\frac{b}{b+c^2}\le\frac{1}{16}\left(\frac{3}{c}+\frac{1}{a}\right)\) ; \(\frac{c}{c+a^2}\le\frac{1}{16}\left(\frac{3}{a}+\frac{1}{c}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(VT\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\left(a,b\ne0\right)\)
\(\ge\frac{2b}{b}+\frac{b}{2b}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\)(đpcm)
Dấu = xảy ra khi a = 2b <=> Min = 5/2
tth: thêm hộ cái điều kiện a,b dương
Đặt \(\frac{a}{b}=x\)
Ta có: \(a\ge2b\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}\ge2\)
\(\Leftrightarrow x\ge2\)
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=x+\frac{1}{x}=\frac{1}{4}x+\frac{1}{x}+\frac{3}{4}x\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2.\sqrt{\frac{1}{4}.x.\frac{1}{x}}+\frac{3}{4}x\ge2.\frac{1}{2}+\frac{3}{4}.2=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\left(v\text{ì}x\ge2\right)\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{4}x=\frac{1}{x}\\x=2\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2=4\\x=2\end{cases}}\Leftrightarrow}x=2\Leftrightarrow\frac{a}{b}=2\Leftrightarrow a=2b\)