Question

[Trần Thanh Hải]

Bạn Quân với bạn Incusion03 cho tớ hỏi thêm bài nữa ạ

Với \(0< a,b,c,d< \frac{1}{3}\) thỏa mãn điều kiện a + b + c + d = 1 . 

\(P=\frac{1}{a^2\left(3b+3c+3d-2\right)}+\frac{1}{b^2\left(3c+3d+3a-2\right)}+\frac{1}{c^2\left(3d+3a+3b-2\right)}+\frac{1}{d^2\left(3a+3b+3x-2\right)}\)

                                                                                                                         \(\ge256\)

Answer 1

[Incursion_03]

Bài của bạn thặc zi ziệu!

Ta có: \(a^4+a^4+a^4+\frac{1}{256}\ge4\sqrt[4]{a^4.a^4.a^4.\frac{1}{256}}=a^3\)

\(\Leftrightarrow a^3-3a^4\le\frac{1}{256}\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(1-3a\right)\le\frac{1}{256}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3\left(1-3a\right)}\ge256\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2\left(1-3a\right)}\ge256a\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2\left(3b+3c+3d-2\right)}\ge256a\)

C/m tương tự

\(\frac{1}{b^2\left(3c+3d+3a-2\right)}\ge256b\)

\(\frac{1}{c^2\left(3d+3b+3a-2\right)}\ge256c\)

\(\frac{1}{d^2\left(3a+3b+3c-2\right)}\ge256d\)

Cộng từng vế của 4 bđt trên lại ta được

\(P\ge256\left(a+b+c\right)=256\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c+d=1\\a=b=c=d\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{4}\)

Vậy ..........

P/S: mong cậu lần sau viết đúng tên tớ vào -.-

Plus:  để ý thì bài này giống bài hồi nãy thì phải

Answer 2

[Phùng Minh Quân]

cách khác nè :))

\(\frac{1}{a^2\left(3b+3c+3d-2\right)}=\frac{1}{a^2\left(b+c+d-2a\right)}=\frac{1}{a^2\left(1-3a\right)}=\frac{\left(\frac{1}{a}\right)^2}{1-3a}\)

mấy cái kia tương tự 

\(P=\frac{\left(\frac{1}{a}\right)^2}{1-3a}+\frac{\left(\frac{1}{b}\right)^2}{1-3b}+\frac{\left(\frac{1}{c}\right)^2}{1-3c}+\frac{\left(\frac{1}{d}\right)^2}{1-3d}\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{d}+\frac{1}{c}\right)^2}{4-3\left(a+b+c+d\right)}\)

\(\ge\frac{\left[\left(\frac{1+1+1+1}{a+b+c+d}\right)^2\right]^2}{4-3\left(a+b+c+d\right)}=\frac{\left(4^2\right)^2}{4-3}=256\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=d=\frac{1}{4}\)

:))