Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. D là một điểm bất kì trên cạnh BC. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB và CD, chúng cắt các cạnh AC và AB theo thứ tự ở E và F.
a) Tứ giác AEDF là hình gì? Tại sao?
b) Xác định vị trí của D trên BC để đoạn thẳng EF có độ dài nhỏ nhất
Lời giải:
a) Ta có:
{ME∥ACAB⊥AC⇒ME⊥AB⇒∠MEA=900{ME∥ACAB⊥AC⇒ME⊥AB⇒∠MEA=900
{MF∥ABAB⊥AC⇒MF⊥AC⇒∠MFA=900{MF∥ABAB⊥AC⇒MF⊥AC⇒∠MFA=900
Tam giác ABCABC vuông tại AA nên ∠EAF=900∠EAF=900
Tứ giác AFMEAFME có 3 góc ∠MEA=∠MFA=∠EAF=900∠MEA=∠MFA=∠EAF=900 nên là hình chữ nhật.
b)
Vì ME∥AC,MF∥ABME∥AC,MF∥AB nên áp dụng định lý Thales ta có:
MEAC=BMBC;MFAB=CMBCMEAC=BMBC;MFAB=CMBC
Chia hai vế: ⇒MEMF.ABAC=BMCM⇒MEMF.ABAC=BMCM
Vì AFMEAFME là hình chữ nhật (cmt) nên để nó là hình vuông cần có ME=MFME=MF
⇔MEMF=1⇔ABAC=BMCM⇔MEMF=1⇔ABAC=BMCM
⇔ABAB+AC=BMBM+CM=BMBC⇔ABAB+AC=BMBM+CM=BMBC
Vậy điểm M nằm trên BC sao cho BMBC=ABAB+ACBMBC=ABAB+AC thì AFMEAFME là hình vuông.