Cho n là số nguyên dương thỏa mãn \(2+2\sqrt{12n^2+1}\) là số nguyên
Chứng minh rằng : \(2+2\sqrt{12n^2+1}\) là số chính phương
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
7 tháng 2 2017
Đặt \(M=2+2\sqrt{12n^2+1}\)
Để M là số nguyên thì 12n2 + 1 là số chính phương lẻ
Đặt 12n2 + 1 = (2k -1)2 (k \(\in\) N)
<=> 12n2 + 1 = 4k2 - 4k +1
<=> 12n2 = 4k2 - 4k
<=> 3n2 = k(k - 1)
=> k(k - 1) chia hết cho 3 => k chia hết cho 3 hoặc k - 1 chia hết cho 3
TH1 : k ⋮ 3 => n2 =(\(\frac{k}{3}\)).(k - 1) Mà (\(\frac{k}{3}\) ; k-1 )= 1 nên đặt \(\frac{k}{3}\) = x2 => k = 3x2
và đặt k - 1 = y2 => k = y2 +1
=> 3x2 = y2 + 1 = 2 ( mod 3)
Vô lý vì 1 số chính phương chia cho 3 có số dư là 0 hoặc 1
TH2 : k - 1 ⋮ 3: ta có :
=> n2 = \(\frac{k\left(k-1\right)}{3}\) Mà ( k; (\(\frac{k-1}{3}\)) =1 nên đặt k = z2
=> M = 2 + 2(2k - 1) = 4k = 4z2 =(2z)2 là 1 số chính phương
=> M là một số chính phương ( đpcm )
28 tháng 4 2017
\(2+2\sqrt{12n^2+1}\in Z^+\Rightarrow2\sqrt{12n^2+1}\in Z^+\Rightarrow\sqrt{12n^2+1}\in Q\)
\(\Rightarrow\sqrt{12n^2+1}=m\in Z^+\Rightarrow12n^2=m^2-1⋮4\Rightarrow m=2k+1,k\in Z\)
\(12n^2=\left(2k+1\right)^2-1=4k\left(k+1\right)\Rightarrow3n^2=k\left(k+1\right)⋮3\)hoặc \(k+1⋮3\)
TH1: \(k=3q,q\in Z\Rightarrow3n^2=3q\left(q+1\right)\Rightarrow n^2=q\left(q+1\right)\)
Vì \(\left(q,3q+1\right)=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}q=a^2\\3q+1=b^2\end{cases}\Rightarrow3q^2+1=b^2}\)
Ta có: \(2+2\sqrt{12n^2+1}=2+2m=2+2\left(2k+1\right)=4+4.3q=4+12q^2=4b^2\)(CMT)
Ta có đpcm
TH2(tương tự):\(k=3q+1\)
FV
0
NK
4
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
5 tháng 3 2021
Đặt \(d=\left(9n+2,12n+3\right)\).
Suy ra \(\hept{\begin{cases}9n+2⋮d\\12n+3⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}4\left(9n+2\right)⋮d\\3\left(12n+3\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow3\left(12n+3\right)-4\left(9n+2\right)=1⋮d\)
Suy ra \(d=1\), do đó ta có đpcm.
5 tháng 3 2021
Đặt d=(9n+2,12n+3)d=(9n+2,12n+3).
Suy ra \hept{9n+2⋮d12n+3⋮d⇒\hept4(9n+2)⋮d3(12n+3)⋮d⇒3(12n+3)−4(9n+2)=1⋮d\hept{9n+2⋮d12n+3⋮d⇒\hept{4(9n+2)⋮d3(12n+3)⋮d⇒3(12n+3)−4(9n+2)=1⋮d
Suy ra d=1d=1, do đó ta có đpcm.
Lời giải:
Để \(2+2\sqrt{12n^2+1}\in\mathbb{Z}\) thì \(12n^2+1\). phải là số chính phương lẻ.
Đặt \(12n^2+1=(2a+1)^2(a\in\mathbb{Z})\)
\(\Leftrightarrow 12n^2=4a^2+4a\Leftrightarrow 3n^2=a(a+1)\)
Vì \(a(a+1)=3n^2\vdots 3\) nên xét các TH sau:
TH1: \(a\vdots 3\). Đặt \(a=3k\)
Ta có: \(3n^2=a(a+1)=3k(3k+1)\)
\(\Leftrightarrow n^2=k(3k+1)\)
Dễ thấy $(k,3k+1)=1$ nên để tích của chúng là scp thì bản thân mỗi số đó là scp \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} k=u^2\\ 3k+1=v^2\end{matrix}\right.\) \((u,v\in\mathbb{Z})\)
\(\Rightarrow 2+2\sqrt{12n^2+1}=2+2(2a+1)=4a+4=4.3k+4\)
\(=4(v^2-1)+4=(2v)^2\) là số chính phương (đpcm)
TH2: \(a+1\vdots 3\). Đặt \(a+1=3k\)
\(\Rightarrow n^2=(3k-1)k\). Dễ thấy $(3k-1,k)=1$ nên \(\left\{\begin{matrix} k=u^2\\ 3k-1=v^2\end{matrix}\right.(u,v\in\mathbb{Z})\)
\(\Rightarrow 3u^2-1=v^2\)
\(\Rightarrow v^2\equiv 2\pmod 3\) (vô lý- loại)
Vậy..........