Cho n là số nguyên dương (n> hoặc =2) .CmR:
\(\sqrt{n}< \dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}< 2\sqrt{n}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 11 2018
Bạn ghi sai đề à? Số đầu tiên phải là \(\dfrac{1}{\sqrt{1}}\) chứ sao là \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\), mặc dù đề như vậy làm vẫn được nhưng chắc chẳng ai cho dãy quy luật kiểu đó
\(A=\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=2\left(\dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{2\sqrt{n}}\right)\)
\(\Rightarrow A>2\left(\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\right)\)
\(\Rightarrow A>2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=2\left(\sqrt{n+1}-1\right)\)
Ta chứng minh \(2\left(\sqrt{n+1}-1\right)>\sqrt{n}\Leftrightarrow2\sqrt{n+1}>\sqrt{n}+2\)
\(\Leftrightarrow4\left(n+1\right)>n+4+4\sqrt{n}\Leftrightarrow3n>4\sqrt{n}\Leftrightarrow\sqrt{n}>\dfrac{4}{3}\)
\(\Leftrightarrow n>\dfrac{16}{9}\) (đúng với mọi \(n\ge2\) )
Vậy \(A>\sqrt{n}\)
- Ta chứng minh tiếp \(A< 2\sqrt{n}\)
\(A=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=1+\dfrac{2}{2\sqrt{2}}+...+\dfrac{2}{2\sqrt{n}}\)
\(\Rightarrow A< 1+2\left(\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}\right)\)
\(\Rightarrow A< 1+2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)
\(\Rightarrow A< 1+2\left(\sqrt{n}-1\right)=2\sqrt{n}-1< 2\sqrt{n}\) (đpcm)
Vậy: \(\sqrt{n}< \dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}< 2\sqrt{n}\)
24 tháng 11 2018
Nguyễn Việt Lâmtran nguyen bao quanBạch Tuyên NghiNguyễn Thanh Hằng help me
24 tháng 5 2018
bai 1
(n+1)√n=√n^3+√n>2√(n^3.n)=2n^2>2(n^2-1)=2(n-1)(n+1)
1/[(n+1)√n]<1/[2(n-1)(n+1)]=1/4.[2/(n-1)(n+1)]
A=..
n =1 yes
n>1
A<1+1/4[2/1.3+2/3.5+..+2/(n-1)(n+1)
A<1+1/4[ 2-1/(n+1)]<1+1/2<2=>dpcm
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 9 2018
Lời giải:
Với 2 số $a,b$ dương, ta luôn có BĐT quen thuộc sau:
\(a^3+b^3\geq ab(a+b)\)
Cách chứng minh rất đơn giản, biến đổi tương đương ta có:
\(a^3+b^3-ab(a+b)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow a^2(a-b)-b^2(a-b)\geq 0\Leftrightarrow (a-b)^2(a+b)\geq 0\) (luôn đúng với mọi $a,b>0$)
---------------------------------------
Áp dụng vào bài toán:
\((n+1)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n}=(\sqrt{n})^3+(\sqrt{n+1})^3\geq \sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})\)
\(\Rightarrow \frac{1}{(n+1)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n}}< \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Do đó:
\(\frac{1}{2\sqrt{2}+1}< 1-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\frac{1}{3\sqrt{3}+2\sqrt{2}}< \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
......
\(\frac{1}{(n+1)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n}}< \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow \text{VT}< 1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Ta có đpcm.
11 tháng 11 2021
\(\sqrt{3}-\dfrac{m}{n}>0\Leftrightarrow\sqrt{3}>\dfrac{m}{n}\Leftrightarrow3n^2>m^2\)
Vì \(m,n\ge1\) nên \(3n^2\ge m^2+1\)
Với \(3n^2=m^2+1\Leftrightarrow m^2+1⋮3\Leftrightarrow m^2\) chia 3 dư 2 (vô lí)
\(\Leftrightarrow3n^2\ge m^2+2\)
Lại có \(4m^2>1\Leftrightarrow\left(m+\dfrac{1}{2m}\right)^2=m^2+1+\dfrac{1}{4m^2}< m^2+2\)
\(\Leftrightarrow\left(m+\dfrac{1}{2m}\right)^2< 3n^2\Leftrightarrow m+\dfrac{1}{2m}< n\sqrt{3}\\ \Leftrightarrow n\sqrt{3}-m>\dfrac{1}{2m}\)