tìm a,b ,c sao cho\(a^2\left(b+c\right)=b^2\left(a+c\right)=2013\)Tính giá trị của biểu thức \(H=c^2\left(a+b\right)\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a^2\left(b+c\right)+b^2\left(c+a\right)+c^2\left(a+b\right)+2abc=0\)
=>\(\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)=0\)
=>a=-b hoặc a=-c hoặc b=-c (1)
=>a=1 hoăc b=1 hoặc c=1 (2)
từ 1 và 2 => Q=1
Ta có: \(A=\dfrac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}-\dfrac{b^2}{\left(b-a\right)\left(c-b\right)}-\dfrac{c^2}{\left(c-a\right)\left(b-c\right)}\)
\(=\dfrac{a^2\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}-\dfrac{b^2\left(a-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)
\(=\dfrac{a^2b-a^2c-ab^2+b^2c+ac^2-bc^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)
\(=\dfrac{ab\left(a-b\right)-c\left(a^2-b^2\right)+c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)
\(=\dfrac{\left(a-b\right)\left(ab+c^2\right)-c\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)
\(=\dfrac{\left(a-b\right)\left(ab+c^2-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)
\(=\dfrac{c^2+ab-c}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)
a) 9x2 - 36
=(3x)2-62
=(3x-6)(3x+6)
=4(x-3)(x+3)
b) 2x3y-4x2y2+2xy3
=2xy(x2-2xy+y2)
=2xy(x-y)2
c) ab - b2-a+b
=ab-a-b2+b
=(ab-a)-(b2-b)
=a(b-1)-b(b-1)
=(b-1)(a-b)
P/s đùng để ý đến câu trả lời của mình
dễ!Ta có:
\(\frac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}=\frac{b-a+a-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}=\frac{b-a}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{a-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}=\frac{1}{a-b}+\frac{1}{c-a}\)
Chứng minh tương tự,Ta được:
\(\hept{\begin{cases}\frac{c-a}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}=\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}\\\frac{a-b}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=\frac{1}{c-a}+\frac{1}{b-c}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{c-a}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\frac{a-b}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{c-a}=2\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right)=2013\)\(\Rightarrow\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}=\frac{2013}{2}\)
Xong!
\(P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{abc\left(a^2+1\right)^2\left(b^2+1\right)^2\left(c^2+1\right)^2}{a^2b^2c^2\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}}=3\sqrt[3]{\dfrac{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}{abc}}\)
\(P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}{\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^3}}=9\sqrt[3]{\dfrac{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}{\left(a+b+c\right)^3}}\ge9\sqrt[3]{\dfrac{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}{2\left(a+b+c\right)^2}}\)
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số \(a^2;b^2;c^2\) luôn có ít nhất 2 số cùng phía so với \(\dfrac{4}{9}\)
Không mất tính tổng quát, giả sử đó là \(a^2;b^2\)
\(\Rightarrow\left(a^2-\dfrac{4}{9}\right)\left(b^2-\dfrac{4}{9}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+\dfrac{16}{81}\ge\dfrac{4}{9}a^2+\dfrac{4}{9}b^2\)
\(\Rightarrow a^2b^2+a^2+b^2+1\ge\dfrac{13}{9}a^2+\dfrac{13}{9}b^2+\dfrac{65}{81}\)
\(\Rightarrow\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\ge\dfrac{13}{9}\left(a^2+b^2+\dfrac{5}{9}\right)\)
\(\Rightarrow\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\dfrac{13}{9}\left(a^2+b^2+\dfrac{5}{9}\right)\left(c^2+1\right)\)
\(=\dfrac{13}{9}\left(a^2+b^2+\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{9}\right)\left(\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}+c^2+\dfrac{1}{9}\right)\)
\(\ge\dfrac{13}{9}\left(\dfrac{2}{3}a+\dfrac{2}{3}b+\dfrac{2}{3}c+\dfrac{1}{9}\right)^2\)
\(\Rightarrow P\ge9\sqrt[3]{\dfrac{\dfrac{13}{9}\left(\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)+\dfrac{1}{9}\right)^2}{2\left(a+b+c\right)^2}}=9\sqrt[3]{\dfrac{13}{18}\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{9\left(a+b+c\right)}\right)^2}\)
\(P\ge9\sqrt[3]{\dfrac{13}{18}\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{9.2}\right)^2}=\dfrac{13}{2}\)
\(P_{min}=\dfrac{13}{2}\) khi \(a=b=c=\dfrac{2}{3}\)
Thầy cho em hỏi cơ sở để ta nghĩ ra dòng
\(\left(a^2-\dfrac{4}{9}\right)\left(b^2-\dfrac{4}{9}\right)\ge0\) này là gì ạ?
Theo cá nhân em thấy cách giải này hay và dễ hiểu, và có lẽ cũng dựa vào điểm rơi nhưng hình như lời giải chưa tự nhiên lắm thì phải ạ. Thầy có cách nào nữa không thầy? Em cảm ơn ạ.
Đặt \(\hept{\begin{cases}a-b=x\\b-c=y\\c-a=z\end{cases}}\)
\(A=\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}+\frac{x^2y^2z^2}{xyz}\)
\(A=\frac{\left(2y+2x\right).z+2xy}{xyz}+\frac{x^2+y^2+x^2}{xyz}\)
\(A=\frac{2yz+2xz+2xy}{xyz}+\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}\)
\(A=\frac{2yz+2xz+2xy+x^2+y^2+z^2}{xyz}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{xyz}\)
Có đúng k nhỉ k chắc