1. Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn 1/x 1/y 1/z =1 . CMR: $\sqrt{x yz} \sqrt{y zx} \sqrt{z xy}\ge\sqrt{xyz} \sqrt{x} \sqrt{y} \sqrt{z}$ 2. tìm a,b nguyên dương sao cho $a b^2⋮a^2b-1$ 3. Cho 3 số...

TN

Thư Nguyễn Nguyễn

17 tháng 10 2018

1. Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn 1/x+ 1/y+ 1/z =1 . CMR: $\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$ 2. tìm a,b nguyên dương sao cho $a+b^2⋮a^2b-1$ 3. Cho 3 số x,y,z thỏa mãn đồng thời: $3z-2y-2\sqrt{y+2012}+1=0$ $3y-2z-2\sqrt{z-2013}+1=0$ $3z-2x-2\sqrt{x-2}-2=0$ Tính gtri P= $\left(x-4\right)^{2011}+\left(y+2012\right)^{2012}+\left(z-2013\right)^{2013}$ 4. Cho a,b,c là các số >1. Tính Min P=...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

0

PT

phan thị minh anh

9 tháng 9 2016

Câu hỏi hay

cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$

cmr : $\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$

#Toán lớp 9

4

HL

Hoàng Lê Bảo Ngọc

10 tháng 9 2016

Ta có : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\Leftrightarrow xy+yz+zx=xyz$

$\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$

Bình phương vế trái :

$\left(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\right)^2$

$=\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)+2\left(\sqrt{x+yz}.\sqrt{y+zx}+\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}+\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\right)$Bình phương vế phải :

$\left(\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2=\left(xyz+x+y+z\right)+2\left(x\sqrt{yz}+y\sqrt{xz}+z\sqrt{xy}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)$

Suy ra cần phải chứng minh : $\sqrt{x+yz}.\sqrt{y+zx}+\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}+\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\ge x\sqrt{yz}+y\sqrt{xz}+z\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$(*)

Thật vậy, theo bđt Bunhiacopxki ta có : $\sqrt{x+yz}.\sqrt{y+zx}\ge\sqrt{xy}+z\sqrt{xy}$

$\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{yz}+x\sqrt{yz}$

$\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\ge\sqrt{xz}+y\sqrt{xz}$

Cộng các bđt trên theo vế ta chứng minh được (*) đúng.

Vậy bđt ban đầu được chứng minh.

Đúng(0)

LF

Lightning Farron

14 tháng 2 2017

Ý tưởng khác

Cũng từ giả thiết suy ra $xyz=xy+yz+xz$

Suy ra $\sqrt{x+yz}=\sqrt{\frac{x^2+xyz}{x}}=\sqrt{\frac{x^2+xy+yz+xz}{x}}=\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{x}}$

Theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có $\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge x+\sqrt{yz}$ do đó:

$\sqrt{x+yz}=\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{x}}\ge\frac{x+\sqrt{yz}}{x}=\sqrt{x}+\sqrt{\frac{yz}{x}}$

Tương tự cho 2 BĐT còn lại $\sqrt{y+xz}\ge\sqrt{y}+\sqrt{\frac{xz}{y}};\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{z}+\sqrt{\frac{xy}{z}}$

Cộng theo vế 3 BĐT được $VT\ge\sqrt{x}+\sqrt{\frac{yz}{x}}+\sqrt{y}+\sqrt{\frac{xz}{y}}+\sqrt{z}+\sqrt{\frac{xy}{z}}$

$\Leftrightarrow VT\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{xy+yz+xz}{\sqrt{xyz}}$

$\Leftrightarrow VT\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{xyz}$ (Đpcm)

Đúng(0)

KH

Kimian Hajan Ruventaren

16 tháng 1 2021

Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Tìm Min $P=\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}+\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}+\dfrac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}$

#Toán lớp 10

3

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

16 tháng 1 2021

$P\ge\dfrac{\sqrt{3\sqrt[3]{x^3y^3}}}{xy}+\dfrac{\sqrt{3\sqrt[3]{y^3z^3}}}{yz}+\dfrac{\sqrt{3\sqrt[3]{z^3x^3}}}{zx}$

$P\ge\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\right)\ge\sqrt{3}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt{xy.yz.zx}}}=3\sqrt{3}$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

Đúng(1)

T

tthnew

16 tháng 1 2021

Ta có bất đẳng thức sau $x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0.$

Do đó:

$P=\sum\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\sum\dfrac{\sqrt{xyz+xy\left(x+y\right)}}{xy}$

$=\sqrt{x+y+z}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\right)\ge\sqrt{3\sqrt[3]{xyz}}\cdot3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt{xy}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{yz}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{zx}}}=3\sqrt{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1.$

Đúng(1)

MT

Minh Thư

26 tháng 12 2019 - olm

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz = 1.

CMR: $\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}+\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}+\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\ge3\sqrt{3}$

#Toán lớp 8

2

KN

Kiệt Nguyễn

26 tháng 12 2019

Áp dụng BĐT Cô - si cho 3 số không âm:

$1+x^3+y^3\ge3\sqrt[3]{1.x^3y^3}=3xy\Rightarrow\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}$

Tương tự ta có: $\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}$;$\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{zx}}$

Cộng các vế của các BĐT trên, ta được:

$\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}$$+\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}$$+\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\ge$$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}$$+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}$$+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{zx}}$

Tiếp tục áp dụng Cô - si:

$BĐT\ge3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{zx}}}=3\sqrt{3}$

Vậy $\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}$$+\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}$$+\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\ge3\sqrt{3}$

(Dấu "="$\Leftrightarrow x=y=z=1$)

Đúng(0)

ZC

zZz Cool Kid_new zZz

29 tháng 12 2019

$x^3+y^3+1=x^3+y^3+xyz\ge xy\left(x+y\right)+xyz=xy\left(x+y+z\right)$

Tương tự:

$y^3+z^3+1\ge yz\left(x+y+z\right);z^3+x^3+1\ge zx\left(x+y+z\right)$

$\Rightarrow VT\ge\frac{\sqrt{xy\left(x+y+z\right)}}{xy}+\frac{\sqrt{yz\left(x+y+z\right)}}{yz}+\frac{\sqrt{zx\left(x+y+z\right)}}{zx}$

$=\sqrt{x+y+z}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}\right)$

$\ge\sqrt{3\sqrt[3]{xyz}}\cdot3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{xy}\cdot\sqrt{yz}\cdot\sqrt{zx}}}=3\sqrt{3}$

Dấu "=" xảy ra tại $x=y=z=1$

Đúng(0)

DT

Dương Tũn

16 tháng 8 2015 - olm

Câu hỏi hay

Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$, Chứng minh rằng:

$\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$

#Toán lớp 9

6

TP

Trần Phúc Khang

29 tháng 2 2020

BĐT <=> $\sqrt{\frac{x+yz}{xyz}}+\sqrt{\frac{y+xz}{xyz}}+\sqrt{\frac{z+xy}{xyz}}\ge1+\sqrt{\frac{1}{xy}}+\sqrt{\frac{1}{yz}}+\sqrt{\frac{1}{xz}}$

Đặt $a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}$

Khi đó $a+b+c=1$

BĐT <=>$\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ac}+\sqrt{c+ab}\ge1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}$

Ta có $\sqrt{a+bc}=\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge\sqrt{\left(a+\sqrt{bc}\right)^2}=a+\sqrt{bc}$

Khi đó $VT\ge a+b+c+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=VP$(ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=3

Đúng(0)

TL

Tran Le Khanh Linh

1 tháng 3 2020

BĐT cho tương đương với

$\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$

Với $a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z};a+b+c=1$

Ta có:

$\sqrt{a+bc}=\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}$

$=\sqrt{a^2+a\left(b+c\right)+bc}\ge\sqrt{a^2+2a\sqrt{bc}+bc}=a+\sqrt{bc}$

Tương tự

$\sqrt{b+ca}\ge b+\sqrt{ca};\sqrt{c+ab}\ge c+\sqrt{ab}$

Từ đó ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=3

Đúng(0)

C

CCDT

15 tháng 1 2021

cho x,y,z dương thỏa mãn x+y+z=1. CMR:

$\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$

#Toán lớp 9

2

TM

Trần Minh Hoàng

15 tháng 1 2021

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

$\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}+\sqrt{y\left(x+y+z\right)+zx}+\sqrt{z\left(x+y+z\right)+xy}\ge1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$

$\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$. (1)

Theo bđt Bunhiakowski:

$\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge x+\sqrt{yz}$.

Tương tự: $\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}\ge y+\sqrt{zx}$; $\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge z+\sqrt{xy}$.

Cộng vế với vế và kết hợp với gt x + y + z = 1 ta có (1) đúng.

Vậy ta có đpcm.

Đúng(3)

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

15 tháng 1 2021

$\sqrt{x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge x+\sqrt{yz}$

Tương tự:

$\sqrt{y+zx}\ge y+\sqrt{zx}$ ; $\sqrt{z+xy}\ge z+\sqrt{xy}$

Cộng vế với vế:

$VT\ge\left(x+y+z\right)+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=...$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{1}{3}$

Đúng(4)

NP

nguyen phuong anh

15 tháng 9 2023 - olm

cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3 . chứng minh rằng: 1/(sqrt(xy + x + y)) + 1/(sqrt(yz + y + z)) + 1/(sqrt(zx + z + x)) >= sqrt(3)

#Toán lớp 9

2

TD

Thành Đông Phạm

15 tháng 9 2023

Ta cần chứng minh:$\dfrac{1}{\sqrt{x+y+xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{y+z+yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{z+x+zx}}\ge\sqrt{3}$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được:

$\dfrac{1}{\sqrt{x+y+xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{y+z+yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{z+x+zx}}\ge\dfrac{9}{\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}}$

Mặt khác, ta có:

$\left(\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}\right)^2\le3\left(\left(x+y+xy\right)+\left(y+z+yz\right)+\left(z+x+zx\right)\right)$

$\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}\right)^2\le3\left(6+xy+yz+zx\right)$Lại có:

$xy+yz+zx\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\dfrac{9}{3}=3$

$\Rightarrow\left(\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}\right)^2\le3\left(6+3\right)=27$

Đúng(2)

TD

Thành Đông Phạm

15 tháng 9 2023

$\Rightarrow\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}\le3\sqrt{3}$

$\Rightarrow\dfrac{9}{\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}}\ge\dfrac{9}{3\sqrt{3}}=\sqrt{3}$

Do đó $\dfrac{1}{\sqrt{x+y+xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{y+z+yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{z+x+zx}}\ge\sqrt{3}$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$.

Đúng(2)

F

fghj

22 tháng 6 2020

cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz=1 chứng minh rằng $\frac{x}{\sqrt{x+\sqrt{yz}}}+\frac{y}{\sqrt{y+\sqrt{zx}}}+\frac{z}{\sqrt{z+\sqrt{xy}}}\ge\frac{3}{2}$

#Toán lớp 9

0

HA

%Hz@

29 tháng 2 2020 - olm

cho các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn $xyz=1$chứng minh rằng

$\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}+\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}+\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\ge3\sqrt{3}$

#Toán lớp 7

0

HA

%Hz@

29 tháng 2 2020 - olm

cho các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn $xyz=1$chứng minh rằng

$\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}+\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}+\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\ge3\sqrt{3}$

#Toán lớp 7

0

PD

Postgass D Ace

3 tháng 3 2020 - olm

cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z+2=xyz cmr : $x+y+z+6\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)$

#Toán lớp 9

1

KN

Kiệt Nguyễn

21 tháng 5 2020

Theo giả thiết: $xyz=x+y+z+2$

$\Leftrightarrow xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1$$=\left(xy+yz+zx\right)+2\left(x+y+z\right)+3$

$\Leftrightarrow\left(xy+x+y+1\right)\left(z+1\right)$$=\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)\left(z+1\right)+\left(z+1\right)\left(x+1\right)$

$\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)$$=\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)\left(z+1\right)+\left(z+1\right)\left(x+1\right)$

$\Leftrightarrow\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1$. Đặt $a=\frac{1}{x+1};b=\frac{1}{y+1};c=\frac{1}{z+1}$

Khi đó a + b + c = 1 và $x=\frac{1-a}{a}=\frac{b+c}{a}$;$y=\frac{1-b}{b}=\frac{c+a}{b}$;$z=\frac{1-c}{c}=\frac{a+b}{c}$

Ta cần chứng minh $x+y+z+6\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)$

$\Leftrightarrow x+y+z+6\ge\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2-\left(x+y+z\right)$

$\Leftrightarrow\sqrt{2\left(x+y+z+3\right)}\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$

$\Leftrightarrow\sqrt{2\left[\left(x+1\right)+\left(y+1\right)+\left(z+1\right)\right]}\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$

$\Leftrightarrow\sqrt{\left[\left(b+c\right)+\left(c+a\right)+\left(a+b\right)\right]\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}$$\ge\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}+\sqrt{\frac{a+b}{c}}$

BĐT cuối hiển nhiên đúng vì đây là BĐT Bunyakovski do đó bài toán được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$hay x = y = z = 2

Đúng(1)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP