Question

[Comebacktome]

Timg số tự nhiên n để n²⁰¹⁸+n²⁰⁰⁸+1 là số nguyên tố

Answer 1

[Nguyễn Xuân Anh]

Ta có:

\(n^{2018}+n^{2008}+1=n^2\left(n^{2016}-1\right)+n\left(n^{2007}-1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n^2\left(n^{2016}-1\right)=n^2\left[\left(n^3\right)^{672}-1\right]=n^2\left(n^3-1\right)\left(n^{671}+n^{670}+...+1\right)=n^2\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)\left(...\right)\\n\left(n^{2007}-1\right)=n\left[\left(n^3\right)^{669}-1\right]=n\left(n^3-1\right)\left(n^{668}+n^{667}+...+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)\left(...\right)\\n^2+n+1\end{cases}}\)

(Hằng đẳng thức mở rộng học ở toán 8 nâng cao)

Cộng 3 vế lại ta có:

\(n^2\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)\left(...\right)+n\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)\left(...\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=\left(n^2+n+1\right)\left(.....\right)\)

=> để \(n^{2018}+n^{2008}+1\text{ }\text{ là số nguyên tố thì }\orbr{\begin{cases}n^{2018}+n^{2008}+1=n^2+n+1\\n^2+n+1=1\end{cases}}\)

dễ rồi tự giải tiếp 2 trường hợp nha!!

Answer 2

[lý canh hy]

Với a,m,n nguyên dương (\(a\ge2\))

\(a^{3m+1}+a^{3n+2}+1\)chia hết cho \(a^2+a+1\)(1)

Thật vậy 

Ta có: \(a^{3m+1}+a^{3n+2}+1=a^{3m+1}-a+a^{3n+2}-a^2+a^2+a+1\)

\(=a\left(a^{3m}-1\right)+a^2\left(a^{3n}-1\right)+a^2+a+1\)

Vì \(a^{3m}-1;a^{3n}-1\)đều chia hết cho \(a^3-1\)nên chia hết cho \(a^2+a+1\)

\(\Rightarrow a^{3m+1}+a^{3n+2}+1\)chia hết cho \(a^2+a+1\)

Đặt \(A=n^{2018}+n^{2008}+1\)

+, n=1\(\Rightarrow A=3\)là số nguyên tố

+,\(n\ge2\),ta có 2018=672*3+2 ; 2008=669*3+1

Theo (1) ta có \(n^{2018}+n^{2008}+1\)chia hết cho \(n^2+n+1\)nên không là số nguyên tố

Vậy n=1 thì A là số nguyen tố