Cho a,b,c>0 và ab+bc+ca=3
CMR: \(\dfrac{1}{a^2+b^2+1}+\dfrac{1}{b^2+c^2+1}+\dfrac{1}{c^2+a^2+1}\le1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 6 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(a^2+b^2+1)(1+1+c^2)\geq (a+b+c)^2$
$\Rightarrow \frac{1}{a^2+b^2+1}\leq \frac{c^2+2}{(a+b+c)^2}$
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:
$\text{VT}\leq \frac{a^2+b^2+c^2+6}{(a+b+c)^2}=\frac{a^2+b^2+c^2+6}{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)}\leq \frac{a^2+b^2+c^2+6}{a^2+b^2+c^2+2.3}=1$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 6 2021
Đề bài sai, bạn kiểm tra lại điều kiện \(a^2+b^2+c^2=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 1 2021
Lời giải:Áp dụng BĐT AM-GM và BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{bc}{a^2+1}=\frac{bc}{(a^2+b^2)+(a^2+c^2)}\leq \frac{1}{4}.\frac{(b+c)^2}{(a^2+b^2)+(a^2+c^2)}\leq \frac{1}{4}\left(\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}\right)\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại, ta có:
\(P\leq \frac{1}{4}\left(\frac{b^2+a^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2+a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2}\right)=\frac{3}{4}\)
(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{\frac{1}{3}}$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 12 2020
\(a^5+b^2+ab+6\ge3a^2b+6\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(\dfrac{1}{\sqrt{a^2b+2}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^2c+2}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^2a+2}}\right)\le\sqrt{\dfrac{1}{a^2b+2}+\dfrac{1}{b^2c+2}+\dfrac{1}{c^2a+2}}=\sqrt{Q}\)
\(Q=\dfrac{c}{a+2c}+\dfrac{a}{b+2a}+\dfrac{b}{c+2b}=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{a}{a+2c}+1-\dfrac{b}{b+2a}+1-\dfrac{c}{c+2b}\right)\)
\(Q=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a^2}{a^2+2ac}+\dfrac{b^2}{b^2+2ab}+\dfrac{c^2}{c^2+2bc}\right)\)
\(Q\le\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=1\)
\(\Rightarrow P\le\sqrt{1}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
24 tháng 6 2021
Đặt A = \(\dfrac{a-b}{1+c^2}+\dfrac{b-c}{1+a^2}+\dfrac{c-a}{1+b^2}=0\)
= \(\dfrac{a-b}{c^2+ab+bc+ca}+\dfrac{b-c}{a^2+ab+bc+ca}+\dfrac{c-a}{b^2+ab+bc+ca}\)
= \(\dfrac{a-b}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}+\dfrac{b-c}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{c-a}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\)
= \(\dfrac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)+\left(b-c\right)\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\left(c-a\right)}{\left(c+a\right)\left(b+c\right)\left(a+b\right)}\)
= \(\dfrac{a^2-b^2+b^2-c^2+c^2-a^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)
AT
24 tháng 6 2021
\(\dfrac{a-b}{1+c^2}+\dfrac{b-c}{1+a^2}+\dfrac{c-a}{1+b^2}\)
\(=\dfrac{a-b}{ab+bc+ca+c^2}+\dfrac{b-c}{ab+bc+ca+a^2}+\dfrac{c-a}{ab+bc+ca+b^2}\)
\(=\dfrac{a-b}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}+\dfrac{b-c}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{c-a}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}\)
\(=\dfrac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)+\left(b-c\right)\left(b+c\right)+\left(c-a\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(=\dfrac{a^2-b^2+b^2-c^2+c^2-a^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 3 2022
Đẳng thức quen thuộc: \(a^2+ab+bc+ca=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\) và tương tự cho các mẫu số còn lại
Ta có:
\(\sum\dfrac{1}{a^2+1}=\sum\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\dfrac{2\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Mặt khác:
\(2\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)=\left[a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)\right]\left(a+b+c\right)\)
\(\ge\left(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\right)^2\) (Bunhiacopxki)
\(\Rightarrow\sum\dfrac{1}{a^2+1}\ge\dfrac{\left(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(=\left(\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\right)^2\)
\(=\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\right)^2\)
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{3}{2}\)
Đúng theo AM-GM:
\(\sum\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{1}{2}\sum\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
D
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 8 2021
\(\dfrac{a+b}{ab+c^2}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(ab+c^2\right)\left(a+b\right)}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{b\left(a^2+c^2\right)+a\left(b^2+c^2\right)}\le\dfrac{a^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2}{a\left(b^2+c^2\right)}\)
Tương tự:
\(\dfrac{b+c}{bc+a^2}\le\dfrac{b^2}{c\left(a^2+b^2\right)}+\dfrac{c^2}{b\left(a^2+c^2\right)}\) ; \(\dfrac{c+a}{ca+b^2}\le\dfrac{c^2}{a\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{a^2}{c\left(a^2+b^2\right)}\)
Cộng vế:
\(VT\le\dfrac{1}{a}\left(\dfrac{b^2}{b^2+c^2}+\dfrac{c^2}{b^2+c^2}\right)+\dfrac{1}{b}\left(\dfrac{a^2}{a^2+c^2}+\dfrac{c^2}{a^2+c^2}\right)+\dfrac{1}{c}\left(\dfrac{a^2}{a^2+b^2}+\dfrac{b^2}{a^2+b^2}\right)=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
Mysterious Persontran nguyen bao quanDƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG