Với k thuộc N sao CMR:
\(\frac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}< 2\left(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
18 tháng 12 2015
\(\frac{1}{\sqrt{k}\left(k+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{k+1}}.\frac{1}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}}=\frac{1}{\sqrt{k+1}}.\frac{k+1-k}{\sqrt{k\left(k+1\right)}}=\frac{1}{\sqrt{k+1}}\left(\frac{\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}}\right)\)
\(=\frac{\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}}.\frac{\left(\sqrt{k+1}+\sqrt{k}\right)}{\sqrt{k+1}}<\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}}.2\)
Đề đúng sory nhé
BT
5 tháng 7 2016
với \(a>0,b>0\)ta có \(\sqrt{a}.\sqrt{b}\le\frac{a+b}{2}\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a}.\sqrt{b}}\ge\frac{2}{a+b}\)
từ đó ta có : \(\frac{1}{\sqrt{k\left(2016-k\right)}}\ge\frac{2}{k+2016-k}\ge\frac{2}{2016}=\frac{1}{1008},\)với mọi \(k\in N^{\cdot}\)
Suy ra \(S_k\)\(\ge k.\frac{1}{1008}>k.\frac{1}{1018}\)(đpcm).
11 tháng 8 2016
Bài chứng minh ghi phức tạp lắm mà mình dùng điện thoại nên không ghi được. Còn số nguyên tố đó là 2 nhé
5 tháng 1 2021
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c = 3
Chứng minh rằng với mọi k > 0 ta luôn có....
5 tháng 1 2021
.
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c = 3
Chứng minh rằng với mọi k > 0 ta luôn có
14 tháng 6 2020
Ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{2}{2\sqrt{k}}=\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k}}< \frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}=\frac{2\left(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}\right)}{\left(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}\right)\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}\)
\(=\frac{2\left(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}\right)}{k-\left(k-1\right)}=2\left(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}\right)\)
NV
16 tháng 6 2016
ĐKXĐ: a > 0
a/ \(K=\left[\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}-\frac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\right]:\left[\frac{1}{\sqrt{a}-1}+\frac{2}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}\right]\)
\(=\left[\frac{a-1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\right]:\left[\frac{\sqrt{a}+3}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}\right]\)
\(=\left[\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\right].\left[\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}+3}\right]\) \(=\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)^2\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+3\right)}\)
b/ Ta có: \(\sqrt{a}=\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}=\sqrt{2}+1\)
\(K=\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)^2\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+3\right)}=\frac{\left(\sqrt{2}+2\right)\sqrt{2}}{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+4\right)}=\frac{2\left(\sqrt{2}+1\right)}{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+1}\)
c/ \(K< 0\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)^2\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+3\right)}< 0\)\(\Rightarrow\left(\sqrt{a}+1\right)^2\left(\sqrt{a}-1\right)< 0\)
\(\Rightarrow\sqrt{a}-1< 0\) (vì \(\left(\sqrt{a}+1\right)^2>0\)) \(\Rightarrow\sqrt{a}< 1\Rightarrow a< 1\)
Vậy \(0< a< 1\) thì K < 0
9 tháng 11 2017
ta có \(\left(1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k-1}\right)^2\)
= \(1+\frac{1}{\left(k-1\right)^2}+\frac{1}{k^2}\)\(+\frac{2}{k-1}-\frac{2}{k}-\frac{2}{k\left(k-1\right)}\)
=\(1+\frac{1}{\left(k-1\right)^2}+\frac{1}{k^2}+\frac{2k-2k+2-2}{k\left(k-1\right)}\)
= \(1+\frac{1}{\left(k-1\right)^2}+\frac{1}{k^2}\)
=> \(\sqrt{1+\frac{1}{\left(k-1\right)^2}+\frac{1}{k^2}}\)= \(1+\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\)(đpcm)
Ta thấy: k thuộc N* nên \(\sqrt{k+1}>\sqrt{k}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}=\frac{2}{\left(2\sqrt{k+1}\right).\left(\sqrt{k+1}.\sqrt{k}\right)}< \frac{2}{\left(\sqrt{k+1}.\sqrt{k}\right).\left(\sqrt{k+1}+\sqrt{k}\right)}\)
\(=\frac{2\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{\left(\sqrt{k+1}.\sqrt{k}\right)\left(k+1-k\right)}=2\left(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}< 2\left(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\)(đpcm).