Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn : xyz=1.CMR:
\(\dfrac{1}{\left(\sqrt{xy}+\sqrt{x}+1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{z}+1\right)^2}\ge\dfrac{1}{3}\)
Giúp mk với , mk sắp thi r...
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(x^2+1=x^2+xy+yz+zx\)
\(=x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)
Tương tự:
\(\left\{{}\begin{matrix}y^2+1=\left(y+z\right)\left(y+x\right)\\z^2+1=\left(z+y\right)\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\)
\(A=x\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}+y\sqrt{\dfrac{\left(z+x\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+z\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(z+x\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)}{\left(z+x\right)\left(y+z\right)}}\)
\(=x\left|y+z\right|+y\left|z+x\right|+z\left|x+y\right|\)
TH1: x,y,z <0
\(A=-x\left(y+z\right)-y\left(z+x\right)-z\left(x+y\right)=-2\)
TH2: x,y,z>0
\(A=x\left(y+z\right)+y\left(z+x\right)+z\left(x+y\right)=2\)
Ta có \(1+z^2=xy+yz+zx+z^2\)
\(=y\left(x+z\right)+z\left(x+z\right)\)
\(=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)
CMTT, \(1+x^2=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\) và \(1+y^2=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\)
Do đó \(\sqrt{\dfrac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}\) \(=\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
\(=\sqrt{\left(y+z\right)^2}\) \(=\left|y+z\right|\)
Tương tự như thế, ta được
\(A=x\left|y+z\right|+y\left|z+x\right|+z\left|x+y\right|\)
Cái này không tính ra số cụ thể được nhé bạn. Nó còn phải tùy vào dấu của \(x+y,y+z,z+x\) nữa.
Lời giải:
$xy+yz+xz=1$
$\Rightarrow x^2+1=x^2+xy+yz+xz=(x+y)(x+z)$
Tương tự: $y^2+1=(y+z)(y+x); z^2+1=(z+x)(z+y)$
Khi đó:
\(\sum \sqrt{\frac{(x^2+1)(y^2+1)}{z^2+1}}=\sum \sqrt{\frac{(x+y)(x+z)(y+x)(y+z)}{(z+x)(z+y)}}=\sum \sqrt{(x+y)^2}\)
$=\sum (x+y)=2(x+y+z)$
\(gt\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{z}}=1\)
\(P=\dfrac{1}{xyz}\left(x\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+y\sqrt{2x^2+xz+2z^2}+z\sqrt{2y^2+xy+2x^2}\right)\)
\(=\dfrac{1}{xyz}\left(x\sqrt{\dfrac{5}{4}\left(y+z\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(y-z\right)^2}+y\sqrt{\dfrac{5}{4}\left(x+z\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(x-z\right)^2}+z\sqrt{\dfrac{5}{4}\left(x+y\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(x-y\right)^2}\right)\)
\(\ge\dfrac{1}{xyz}\left[x.\dfrac{\sqrt{5}\left(z+y\right)}{2}+y.\dfrac{\sqrt{5}\left(x+z\right)}{2}+z.\dfrac{\sqrt{5}\left(x+y\right)}{2}\right]\)
\(=\dfrac{\sqrt{5}\left(z+y\right)}{2yz}+\dfrac{\sqrt{5}\left(x+z\right)}{2xz}+\dfrac{\sqrt{5}\left(x+y\right)}{2xy}\)
\(=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\left(1+1+1\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge\dfrac{\sqrt{5}}{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{z}}\right)^2=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\) (bunhia)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=9\)
Thấy : \(\sqrt{2y^2+yz+2z^2}=\sqrt{\dfrac{5}{4}\left(y+z\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(y-z\right)^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(y+z\right)>0\)
CMTT : \(\sqrt{2x^2+xz+2z^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(x+z\right)\) ; \(\sqrt{2y^2+xy+2x^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(x+y\right)\)
Suy ra : \(P\ge\dfrac{1}{xyz}.\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left[x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)\right]\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{5}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
Ta có : \(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}=\sqrt{xyz}\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{z}}=1\)
Mặt khác : \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{z}}\right)^2}{3}=\dfrac{1}{3}\)
Suy ra : \(P\ge\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)
" = " \(\Leftrightarrow x=y=z=9\)
Sửa lại đề: cho x, y, z dương thỏa mãn \(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{yz}=1\)
Chứng minh \(A=\dfrac{x}{\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}}+\dfrac{y}{\sqrt{xz\left(1+y^2\right)}}+\dfrac{z}{\sqrt{xy\left(1+z^2\right)}}\le\dfrac{3}{2}\)
Giải:
Đặt \(a=\dfrac{1}{x};b=\dfrac{1}{y};c=\dfrac{1}{z}\Rightarrow ab+bc+ac=1\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{\dfrac{1}{a}}{\sqrt{\dfrac{1}{bc}\left(1+\dfrac{1}{a^2}\right)}}+\dfrac{\dfrac{1}{b}}{\sqrt{\dfrac{1}{ac}\left(1+\dfrac{1}{b^2}\right)}}+\dfrac{\dfrac{1}{a}}{\sqrt{\dfrac{1}{ab}\left(1+\dfrac{1}{c^2}\right)}}\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{\dfrac{bc}{a^2+1}}+\sqrt{\dfrac{ac}{b^2+1}}+\sqrt{\dfrac{ab}{c^2+1}}\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{\dfrac{bc}{a^2+ab+bc+ac}}+\sqrt{\dfrac{ac}{b^2+ab+bc+ac}}+\sqrt{\dfrac{ab}{c^2+ab+bc+ac}}\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{\dfrac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{ac}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)
\(\Rightarrow A\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}\right)\)
\(\Rightarrow A\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{a+c}{a+c}\right)=\dfrac{3}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) hay \(x=y=z=\sqrt{3}\)
Đề bài này có rất nhiều vấn đề, đầu tiên không có điều kiện x, y, z gì cả? Dương? Â? Bằng 0? Khác 0?
Sau nữa là chiều của BĐT cũng có vấn đề nốt, mình thử với \(x=y=2;z=\dfrac{4}{3}\) thì vế trái ra \(\dfrac{2+\sqrt{30}}{5}\) mà theo casio cho biết thì số này nhỏ hơn \(\dfrac{3}{2}\) , vậy BĐT cũng sai luôn
\(P\le\sqrt{3\left(\sum\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2+\left(x+1\right)^2+4}\right)}\le\sqrt{3\left(\sum\dfrac{1}{4xy+4x+4}\right)}\)
\(P\le\sqrt{\dfrac{3}{4}\sum\left(\dfrac{1}{xy+x+1}\right)}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(P_{max}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) khi \(x=y=z=1\)
Bạn tham khảo tại đây:
Câu hỏi của Vũ Sơn Tùng - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Lời giải:
Đặt \((\sqrt{x}, \sqrt{y}, \sqrt{z})=(a,b,c)\Rightarrow abc=1\)
Bài toán trở thành chứng minh:
\(\frac{1}{(ab+a+1)^2}+\frac{1}{(bc+b+1)^2}+\frac{1}{(ca+c+1)^2}\geq \frac{1}{3}\)
------------
Áp dụng 1 kết quả quen thuộc của BĐT AM-GM: \(x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}\) ta có:
\(\frac{1}{(ab+a+1)^2}+\frac{1}{(bc+b+1)^2}+\frac{1}{(ca+c+1)^2}\geq \frac{1}{3}\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\right)^2\)
Mà:
\(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}=\frac{c}{abc+ac+c}+\frac{ac}{bc.ac+b.ac+ac}+\frac{1}{ac+c+1}\)
\(=\frac{c}{1+ac+c}+\frac{ac}{c+1+ac}+\frac{1}{ac+c+1}=\frac{ac+c+1}{ac+c+1}=1\) (thay $abc=1$)
Do đó:
\(\frac{1}{(ab+a+1)^2}+\frac{1}{(bc+b+1)^2}+\frac{1}{(ca+c+1)^2}\geq \frac{1}{3}.1^2=\frac{1}{3}\) (đpcm)
Dâu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$ hay $x=y=z=1$