Cm: x²-3x+3>0 với mọi giá trị của x thuộc R
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Tam thức \(2{x^2} + 3x + m + 1\) có \(\Delta = {3^2} - 4.2.\left( {m + 1} \right) = 1 - 8m\)
Vì \(a = 2 > 0\) nên để \(2{x^2} + 3x + m + 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(\Delta < 0 \Leftrightarrow 1 - 8m < 0 \Leftrightarrow m > \frac{1}{8}\)
Vậy khi \(m > \frac{1}{8}\) thì \(2{x^2} + 3x + m + 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
b) Tam thức \(m{x^2} + 5x - 3\) có \(\Delta = {5^2} - 4.m.\left( { - 3} \right) = 25 + 12m\)
Đề \(m{x^2} + 5x - 3 \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(m < 0\) và \(\Delta = 25 + 12m \le 0 \Leftrightarrow m \le - \frac{{25}}{{12}}\)
Vậy \(m{x^2} + 5x - 3 \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi \(m \le - \frac{{25}}{{12}}\)
\(2x^2+3x-\left(m-1\right)>0;\forall x\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2>0\\\Delta=9+8\left(m-1\right)< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m< -\dfrac{1}{8}\)
\(R=3x^2+5\)tại x = -1 ; x = 0 ; x = 3
TH1 : Ta thay đa thức trên có x = -1
\(3.\left(-1\right)^2+5=3.1+5=8\)
TH2 : Ta thay đa thức trên có x = 0
\(3.0^2+5=3.0.5=0\)
TH3 : Ta thay đa thức trên có x = 3
\(3.3^2+5=3.9+5=27+5=32\)
Ta KL đc : R luôn dương với mọi giá trị x
\(f'\left(x\right)=3\left(m-1\right)x^2+4\left(m-1\right)x+m\)
- Với \(m=1\Rightarrow f'\left(x\right)=1>0\) (không thỏa mãn)
- Với \(m\ne1\Rightarrow f'\left(x\right)< 0;\forall x\) khi và chỉ khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=4\left(m-1\right)^2-3m\left(m-1\right)< 0\\m-1< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1< m< 4\\m< 1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) Không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu
- Với \(m=-1\) thỏa mãn
- Với \(m\ne-1\) ta có \(\left(m+1\right)x^2-2\left(m+1\right)x+4\ge0;\forall x\) khi và chỉ khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}m+1>0\\\Delta'=\left(m+1\right)^2-4\left(m+1\right)\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\\left(m+1\right)\left(m-3\right)\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\-1< m\le3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-1< m\le3\)
Kết hợp lại ta được \(-1\le m\le3\)
Ta có: \(x^2-3x+3=x^2-2.1,5.x+2,25+0,75=x^2-2.\frac{3}{2}.x+1,5^2+0,75=\left(x-1,5\right)^2+0,75\)
Vì \(\left(x-1,5\right)^2\ge0\)
=>\(\left(x-1,5\right)^2+0,75\ge0,75>0\)
=>\(\left(x-1,5\right)^2+0,75>0\)
=>\(x^2-3x+3>0\)