Cho \(\left(a+\sqrt{a^2+2007}\right)\left(b+\sqrt{b^2+2007}\right)=2007\). Tính \(S=a+b\).
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
Ta có:
\((x+\sqrt{x^2+2007})(y+\sqrt{y^2+2007})=2007\)
Nhân \(x-\sqrt{x^2+2007}\) vào 2 vế:
\(\Rightarrow (x-\sqrt{x^2+2007})(x+\sqrt{x^2+2007})(y+\sqrt{y^2+2007})=2007(x-\sqrt{x^2+2007})\)
\(\Leftrightarrow [x^2-(x^2+2007)](y+\sqrt{y^2+2007})=2007(x-\sqrt{x^2+2007})\)
\(\Leftrightarrow -2007(y+\sqrt{y^2+2007})=2007(x-\sqrt{x^2+2007})\)
\(\Leftrightarrow -(y+\sqrt{y^2+2007})=x-\sqrt{x^2+2007}\)
\(\Leftrightarrow x+y+\sqrt{y^2+2007}-\sqrt{x^2+2007}=0(1)\)
Hoàn toàn tương tự, nhân \(y-\sqrt{y^2+2007}\) vào 2 vế:
\(x+y+\sqrt{x^2+2007}-\sqrt{y^2+2007}=0(2)\)
Từ (1);(2) suy ra: \(2(x+y)=0+0=0\Rightarrow S=x+y=0\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: \(\left(x+\sqrt{x^2+2007}\right)\left(-x+\sqrt{x^2+2007}\right)=2007\) (1)
\(\left(y+\sqrt{y^2+2007}\right)\left(-y+\sqrt{y^2+2007}\right)=2007\) (2)
Nhân theo vế của (1) và (2) ta được và ta kết hợp với giả thiết ta được:
\(2007\left(-x+\sqrt{x^2+2007}\right)\left(-y+\sqrt{y^2+2007}\right)=2007^2\)
\(\Rightarrow\left(-x+\sqrt{x^2+2007}\right)\left(-y+\sqrt{y^2+2007}\right)=2007\)
\(\Rightarrow xy-x\sqrt{y^2+2007}-y\sqrt{x^2+2007}+\sqrt{\left(x^2+2007\right)\left(y^2+2007\right)}=2007\) (3)
Giả thiết
\(xy+x\sqrt{y^2+2007}+y\sqrt{x^2+2007}+\sqrt{\left(x^2+2007\right)\left(y^2+2007\right)}\) (4)
Cộng theo vế (3) và (4) ta được:
\(xy+\sqrt{\left(x^2+2007\right)\left(y^2+2007\right)}=2007\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x^2+2007\right)\left(y^2+2007\right)}=2007-xy\)
\(\Rightarrow x^2y^2+2007\left(x^2 +y^2\right)+2007^2=2007^2-2.2007xy+x^2y^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=-2xy\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2=0\)
\(\Rightarrow S^2=0\Rightarrow S=0\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
\((x+\sqrt{x^2+2007})(y+\sqrt{y^2+2007})=2007\)
\(\Leftrightarrow (x-\sqrt{x^2+2007})(x+\sqrt{x^2+2007})(y+\sqrt{y^2+2007})=2007(x-\sqrt{x^2+2007})\)
\(\Leftrightarrow [x^2-(x^2+2007)](y+\sqrt{y^2+2007})=2007(x-\sqrt{x^2+2007})\)
\(\Leftrightarrow -y-\sqrt{y^2+2007}=x-\sqrt{x^2+2007}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{x^2+2007}-\sqrt{y^2+2007}=x+y(1)\)
Hoàn toàn tương tự (tức là nhân 2 vế của PT ban đầu với \(y-\sqrt{y^2+2007}\)), ta thu được:
\(\sqrt{y^2+2007}-\sqrt{x^2+2007}=x+y(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow 2(x+y)=0\Rightarrow S=x+y=0\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
ta có:\(\left(x+\sqrt{x^2+2007}\right)\left(-x+\sqrt{x^2+2007}\right)=2007\)(1)
\(\left(y+\sqrt{y^2+2007}\right)\left(-y+\sqrt{y^2+2007}\right)=2007\)(2)
nhân 2 vế (1) và (2) với nhau ta được:
\(2007.\left(-x+\sqrt{x^2+2007}\right)\left(-y+\sqrt{y^2+2007}\right)=2007^2\)
\(xy-x\sqrt{y^2+2007}-y\sqrt{x^2+2007}+\sqrt{\left(x^2+2007\right)\left(x^2+2007\right)}=2007\)(3)
theo đề:
\(xy+x\sqrt{y^2+2007}+y\sqrt{x^2+2007}+\sqrt{\left(x^2+2007\right)\left(y^2+2007\right)}=2007\)(4)
công 2 vế (3) và (4) với nhau ta được:
\(xy+\sqrt{\left(x^2+2007\right)\left(y^2+2007\right)}=2007\)
<=>\(\sqrt{\left(x^2+2007\right)\left(y^2+2007\right)}=2007-xy\)
bình phương 2 vế ta được:
\(x^2y^2+2007x^2+2007y^2+2007^2=2007^2-2.2007xy+x^2y^2\)
<=>\(2007.\left(x^2+2xy+y^2\right)=0\)
<=>\(\left(x+y\right)^2=0\)
=>\(x+y=0\)
vậy \(S=0\)
Ta có : \(\left(a+\sqrt{a^2+2007}\right)\left(-a+\sqrt{a^2+2007}\right)=2007\)
\(\left(b+\sqrt{b^2+2007}\right)\left(-b+\sqrt{b^2+2007}\right)=2007\)
Nhân từng vế với nhau , ta có :
\(\left(a+\sqrt{a^2+2007}\right)\left(b+\sqrt{b^2+2007}\right)\left(-b+\sqrt{b^2+2007}\right)\left(-a+\sqrt{a^2+2007}\right)=2007\)
⇔ \(2007\left(-b+\sqrt{b^2+2007}\right)\left(-a+\sqrt{a^2+2007}\right)=2007^2\)
⇔ \(ab-b\sqrt{a^2+2007}-a\sqrt{b^2+2007}+\sqrt{\left(a^2+2007\right)\left(b^2+2007\right)}=2007\left(1\right)\)
Ta có : \(\left(a+\sqrt{a^2+2007}\right)\left(b+\sqrt{b^2+2007}\right)=2007\)
⇔ \(ab+a\sqrt{b^2+2007}+b\sqrt{a^2+2007}+\sqrt{\left(a^2+2007\right)\left(b^2+2007\right)}=2007\left(2\right)\)
Cộng từng vế của ( 1 ; 2 ) , ta có :
\(ab+\sqrt{\left(a^2+2007\right)\left(b^2+2007\right)}=2007\)
⇔ \(\sqrt{\left(a^2+2007\right)\left(b^2+2007\right)}=2007-ab\)
⇔ \(a^2b^2+2007a^2+2007b^2+2007^2=2007^2-2.2007ab+a^2b^2\)
⇔ \(2007a^2+2007b^2=-2.2007ab\)
⇔ \(a^2+2ab+b=0\)
⇔ \(\left(a+b\right)^2=0\)
⇔ \(S=a+b=0\)