Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{a}{a+b};\dfrac{b}{b+c};\dfrac{c}{c+a}\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-x=\dfrac{b}{b+a}\\1-y=\dfrac{c}{b+c}\\1-z=\dfrac{a}{a+c}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow xyz=\dfrac{1}{8}\\ xyz=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\\ \Rightarrow xyz=1-\left(x+y+z\right)+\left(xy+yz+zx\right)-xyz\\ \Rightarrow2xyz=1-\left(x+y+z\right)+\left(xy+yz+zx\right)=\dfrac{1}{4}\\ \Rightarrow x+y+z=\dfrac{3}{4}+xy+yz+zx\)
\(\RightarrowĐpcm\)
\(\left(1+\dfrac{b}{a}\right)\left(1+\dfrac{c}{b}\right)\left(1+\dfrac{a}{c}\right)=8\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{a}\times\dfrac{b+c}{b}\times\dfrac{a+c}{c}=8\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)=8abc\)
~*~*~*~*~
\(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}\)
\(=\dfrac{3}{4}+\dfrac{ab}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{bc}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{ac}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\) (1)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a+b}-\dfrac{ab}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{b}{b+c}-\dfrac{bc}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{c}{c+a}-\dfrac{ac}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\)
\(=\dfrac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a+b}\left(1-\dfrac{b}{b+c}\right)+\dfrac{b}{b+c}\left(1-\dfrac{c}{c+a}\right)+\dfrac{c}{a+c}\left(1-\dfrac{a}{a+b}\right)\)
\(=\dfrac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a+b}\times\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{b}{b+c}\times\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{c}{a+c}\times\dfrac{b}{a+b}\)
\(=\dfrac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ac\left(a+c\right)+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)\left(a+b\right)}=\dfrac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow ac\left(a+c\right)+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)=\dfrac{3}{4}\times8abc\)
\(\Leftrightarrow ac\left(a+c\right)+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+2abc=8abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)=8abc\) luôn đúng
=> (1) đúng
Bạn cũng có thể giải bằng cách đặt \(x=\dfrac{a}{a+b};y=\dfrac{b}{b+c};z=\dfrac{c}{a+c}\).
Trước hết theo BĐT Schur bậc 3 ta có:
\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)+9abc\ge2\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3abc\ge2\left(ab+bc+ca\right)\) (do \(a+b+c=3\)) (1)
Đặt vế trái BĐT cần chứng minh là P, ta có:
\(P=\dfrac{\left(a^2+abc\right)^2}{a^2b^2+2abc^2}+\dfrac{\left(b^2+abc\right)^2}{b^2c^2+2a^2bc}+\dfrac{\left(c^2+abc\right)^2}{a^2c^2+2ab^2c}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2+3abc\right)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)}=\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2+3abc\right)^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
Áp dụng (1):
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{\left[2\left(ab+bc+ca\right)\right]^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=4\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Anh giúp em câu này ạ, câu này hơi khó anh ạ, làm chắc cũng lâu, có gì anh để mai cũng được ạ!
https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-hinh-chop-sabcd-co-day-la-hinh-binh-hanh-m-va-p-la-hai-diem-lan-luot-di-dong-tren-ad-va-sc-sao-cho-mamd-pspc-x-x0-mat-phang-a-di-qua-m-va-song-song-voi-sab-cat-hinh-chop-sabcd-t.8753881358034
Đề sai rồi: a,b,c > 0 thì làm sao mà có: ab + bc + ca = 0 được.
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$\frac{a^3}{(a+b)(a+c)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{64}}=\frac{3}{4}a$
$\frac{b^3}{(b+c)(b+a)}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+a}{8}\geq \frac{3}{4}b$
$\frac{c^3}{(c+a)(c+b)}+\frac{c+a}{8}+\frac{c+b}{8}\geq \frac{3}{4}c$
Cộng 3 BĐT trên và thu gọn:
$\Rightarrow \frac{a^3}{(a+b)(a+c)}+\frac{b^3}{(b+a)(b+c)}+\frac{c^3}{(c+a)(c+b)}\geq \frac{1}{4}(a+b+c)=\frac{1}{4}.3=\frac{3}{4}$
Vậy ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
TH1: \(a+b+c=0\Rightarrow P=\dfrac{\left(-c\right).\left(-a\right).\left(-b\right)}{abc}=-1\)
TH2: \(a+b+c\ne0\)
\(\dfrac{a+b-c}{c}=\dfrac{b+c-a}{a}=\dfrac{a+c-b}{b}=\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2c\\b+c=2a\\c+a=2b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{2a.2b.2c}{abc}=8\)
Tìm trước khi hỏi Câu hỏi của Phan Đình Trường - Toán lớp 8 | Học trực tuyến