cho tam giác ABC vuông tại A , D thuộc cạnh AC sao cho DC =2DA vẽ DEvuoong góc BC
chứng minh \(\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{14}{9DE^2}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ke AHvuong goc voi BC
ta co \(DE\) Song song voi AH \(\Rightarrow\frac{DC}{AC}=\frac{DE}{AH}=\frac{2}{3}\) \(\Rightarrow AH=\frac{3}{2}DE\) (1)
lai co trong tam giac ABC co \(\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{AH^2}\)
thay (1) vào ta có \(\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{\left(\frac{3}{2}DE\right)^2}=\frac{4}{9DE^2}\)
Bạn tại sao\(\frac{1}{AB^2}\)+\(\frac{1}{AC^2}\)=\(\frac{1}{AH^2}\)
( Thông cảm hình bị lệch )
a) + Xét \(\Delta ABC\)và \(\Delta DMC\)có :
AM = DM ( gt )
\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\)( vì là hai góc đối đỉnh ) => \(\Delta AMB=\Delta DMC\)
MB = MC ( AM là trung tuyến của \(\Delta ABC\))
=> \(\widehat{B}=\widehat{MCD}\)( hai góc tương ứng )
=> DC // AB ( có hai góc so le trong = )
Mà AB \(\perp\)AC ( Vì \(\Delta ABC\)vuông tại A)
=> DC _|_ AC
+ Xét \(\Delta BEC\)có :
M là trung điểm của cạnh BC ( Vì AM là trung tuyến của ABC )
=> EM là trung tuyến
A là trung điểm của BE ( Vì EA = AB ) => CA là trung tuyến
Mà EM cắt AC tại N => N là trọng tâm của \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow NC=\frac{2}{3}CA\Rightarrow NC=2NA\)
+ Ta có \(\Delta AMB=\Delta DMC\Rightarrow AB=CD\)
Xét \(\Delta ACD\)có :
CD + AC > AD ( bđt tam giác ) . Mà CD = AB ; AD = 2AM
=> \(AB+AC>2AM\Leftrightarrow\frac{AB+AC}{2}>AM\)(1)
+ Xét \(\Delta AMB\)có : AM > AB - BM
\(\Delta AMC\)có : AM > AC - CM
=> 2AM > AB + AC - BM - CM
<=> 2AM > AB + AC - (BM +CM )
<=> 2AM > AB + AC - BC
<=> AM > \(\frac{AB+AC-BC}{2}\)(2)
Từ (1), (2) => Điều cần cm trên đề bài .