cho 3 số thực dương a,b,c
Chứng minh rằng : \(\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab}\ge a+b+c\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 8 2021
\(1+\dfrac{9}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge1+\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge2\sqrt{\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}}=\dfrac{6}{a+b+c}\)
KK
15 tháng 7 2017
\(VT=\dfrac{a}{b\left(b^2+a\right)}+\dfrac{b}{c\left(c^2+b\right)}+\dfrac{c}{a\left(a^2+c\right)}\)
\(VT=\dfrac{a+b^2-b^2}{b\left(b^2+a\right)}+\dfrac{b+c^2-c^2}{c\left(c^2+b\right)}+\dfrac{c+a^2-a^2}{a\left(a^2+c\right)}\)
\(VT=\dfrac{1}{b}-\dfrac{b}{b^2+a}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{c}{c^2+b}+\dfrac{1}{a}-\dfrac{a}{a^2+c}\)
\(VT=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}-\left(\dfrac{b}{b^2+a}+\dfrac{c}{c^2+b}+\dfrac{a}{a^2+c}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow\dfrac{b}{b^2+a}\le\dfrac{b}{2b\sqrt{a}}=\dfrac{1}{2\sqrt{a}}\)
Thiết lập tương tự và thu lại tao có
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}+\dfrac{1}{\sqrt{c}}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{1}{a}}\le\dfrac{\dfrac{1}{a}+1}{2}\)
Tương tự ta có
\(\sqrt{\dfrac{1}{b}}\le\dfrac{\dfrac{1}{b}+1}{2};\sqrt{\dfrac{1}{c}}\le\dfrac{\dfrac{1}{c}+1}{2}\)
Thu lại ta có
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+3}{2}\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+3\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)-\dfrac{3}{4}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng phân thức
\(\Rightarrow\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)-\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}.\dfrac{9}{a+b+c}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 4 2018
Lời giải:
Do \(3=ab+bc+ac\) nên ta có:
\(P=\frac{a^3}{b^2+3}+\frac{b^3}{c^2+3}+\frac{c^3}{a^2+3}\)
\(=\frac{a^3}{b^2+ab+bc+ac}+\frac{b^3}{c^2+ab+bc+ac}+\frac{c^3}{a^2+ab+bc+ac}\)
\(=\frac{a^3}{(b+c)(b+a)}+\frac{b^3}{(c+a)(c+b)}+\frac{c^3}{(a+b)(a+c)}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{a^3}{(b+c)(b+a)}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+a}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{64}}=\frac{3a}{4}\)
\(\frac{b^3}{(c+a)(c+b)}+\frac{c+a}{8}+\frac{c+b}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{b^3}{64}}=\frac{3b}{4}\)
\(\frac{c^3}{(a+b)(a+c)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{c^3}{64}}=\frac{3c}{4}\)
Cộng các BĐT trên vào và rút gọn:
\(\Rightarrow P+\frac{a+b+c}{2}\geq \frac{3}{4}(a+b+c)\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{a+b+c}{4}(1)\)
Ta có một hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM đó là:
\((a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\Leftrightarrow (a+b+c)^2\geq 9\)
\(\Rightarrow a+b+c\geq 3(2)\)
Từ \((1); (2)\Rightarrow P\geq \frac{3}{4}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 8 2021
\(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}=\dfrac{a^4}{ab}+\dfrac{b^4}{bc}+\dfrac{c^4}{ca}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)}{ab+bc+ca}=a^2+b^2+c^2\)
Mặt khác ta có:
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(a+b+c+ab+bc+ca\right)-3=9\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)
Từ đó suy ra đpcm
25 tháng 6 2023
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta có:
(a2 + b2) + (b2 + c2) + (c2 + a2) ≥ 2ab + 2bc + 2ca
=> 2(a2 + b2 + c2 ) ≥ 2 (ab + bc + ca) (1) (a2 + 1) + (b2 + c2) + (c2 + a2) ≥ 2a + 2b + 2c
=> a2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2(a + b + c) (2)
Cộng các vế của (1) và (2) ta có:
3 ( a2 + b2 + c2 ) + 3 ≥ 2 (ab + bc + ca + a + b + c)
=> 3( a2 + b2 + c2 ) + 3 ≥ 12 => a2 + b2 + c2 ≥ 3.
Ta có: (a^3/b + ab ) + ( b^3/c + bc ) + ( c^3/a + ca)≥ 2(a2 + b2 + c2) (CÔ SI)
<=>a^3/b + b^3/c + c^3/a +ab + bc + ac ≥ 2(a2 + b2 + c2)
Vì a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca => a^3 + b^3 + c^3 ≥ a2 + b2 + c2 ≥ 3 (đpcm).
TA
25 tháng 6 2023
Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai số dương ta có:
\(\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+c^2\right)+\left(c^2+a^2\right)\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\) (1)
\(\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+c^2\right)+\left(c^2+a^2\right)\ge2a+2b+2c\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+3\ge2\left(a+b+c\right)\) (2)
Cộng (1) với (2)
\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\ge2\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\ge12\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)
Ta có: \(\left(\dfrac{a^3}{b}+ab\right)+\left(\dfrac{b^3}{c}+bc\right)+\left(\dfrac{c^3}{a}+ca\right)\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}+ab+bc+ca\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Vì \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\ge3\) (đpcm).
Ta có: \(\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab}+2a+2b+2c\)
\(=\left(\dfrac{a^3}{bc}+b+c\right)+\left(\dfrac{b^3}{ca}+a+c\right)+\left(\dfrac{c^3}{ab}+a+b\right)\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3}{bc}.b.c}+3\sqrt[3]{\dfrac{b^3}{ca}.a.c}+3\sqrt[3]{\dfrac{c^3}{ab}.a.b}=3a+3b+3c\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab}+2a+2b+2c\ge3a+3b+3c\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab}\ge a+b+c\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c\)
Ta có: \(A=\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab}=\dfrac{a^4}{abc}+\dfrac{b^4}{abc}+\dfrac{c^4}{abc}\)(do \(a;b;c>0\) )
Áp dụng BĐT \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)(\("="\Leftrightarrow a=b=c\))
\(A=\dfrac{a^4+b^4+c^4}{abc}=\dfrac{\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2+\left(c^2\right)^2}{abc}\ge\)
\(\ge\dfrac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{abc}\ge\dfrac{abc\left(a+b+c\right)}{abc}=a+b+c\)