Question

[Nhật Hạ]

Cho biểu thức : \(K=\left(\dfrac{4\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}+\dfrac{8x}{4-x}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}-1}{x-2\sqrt{x}}-\dfrac{2}{\sqrt{x}}\right)\)

a. Rút gọn K

b. Tìm giá trị của x để P=-1

c. Tìm m để với mọi giá trị x < 9 ta có \(m\left(\sqrt{x}-3\right)K>x+1\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

ĐK: \(x>0; x\neq 4\)

Có: \(K=\left(\frac{4\sqrt{x}(2-\sqrt{x})}{(2+\sqrt{x})(2-\sqrt{x})}+\frac{8x}{4-x}\right):\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}-\frac{2(\sqrt{x}-2)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}\right)\)

\(=\frac{8\sqrt{x}-4x+8x}{(2+\sqrt{x})(2-\sqrt{x})}: \frac{\sqrt{x}-1-2(\sqrt{x}-2)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}\)

\(=\frac{8\sqrt{x}+4x}{(2+\sqrt{x})(2-\sqrt{x})}.\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{-\sqrt{x}+3}\)

\(=\frac{4\sqrt{x}(2+\sqrt{x})}{2+\sqrt{x}}. \frac{-\sqrt{x}}{3-\sqrt{x}}=\frac{-4\sqrt{x}.\sqrt{x}}{3-\sqrt{x}}=\frac{4x}{\sqrt{x}-3}\)

b)

\(K=-1\Leftrightarrow \frac{4x}{\sqrt{x}-3}=-1\Rightarrow 4x=-(\sqrt{x}-3)\)

\(\Leftrightarrow 4x+\sqrt{x}-3=0\)

\(\Leftrightarrow (4\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+1)=0\)

Vì \(\sqrt{x}+1>0\Rightarrow 4\sqrt{x}-3=0\Rightarrow x=\frac{9}{16}\)

c) \(m(\sqrt{x}-3)K>x+1\)

\(\Leftrightarrow m. (\sqrt{x}-3).\frac{4x}{\sqrt{x}-3}>x+1\)

\(\Leftrightarrow m> \frac{x+1}{4x}\)

\(\Leftrightarrow m> max(\frac{4x}{x+1}), \forall x< 9\)

Với đk đã cho thì ta thấy \(\frac{4x}{x+1}\) có min thôi.